第四集 牛顿方法

课程大纲

 

牛顿方法（用来代替梯度上升对logistic回归进行拟合）

指数分布族（exponential family）

广义线性模型

 

牛顿方法

牛顿方法是用来代替梯度上升对logistic回归进行拟合的算法，它的优点是，针对特征种类不是很多的情况，计算速度比梯度上升算法快很多。

牛顿方法如上图所示。假设要求一个函数，设定一起点，过图像上这一点作切线，交横轴于；重复以上步骤，直到找到可以使的值。设和之间的距离为，则这个过程可以表示为：

                           

依照最后一个式子经过多次迭代后，就可以解出值。                            

将牛顿方法用于logistic回归拟合。因为logistic拟合运用最大似然估计，要求解的最大值，我们可以通过寻找可以使的点来达到寻找最大值的目的。而寻找使的点可以使用牛顿方法。

                               

其中H为Hessian矩阵，它的形式为。在这里应用牛顿方法，每一次迭代都需要计算H的逆，而H为n*n矩阵。所以不适用于特征种类很多即n很大的情况。

                                       

                                        

指数分布族

 

指数分布族是指概率分布满足这种形式的分布的集合。其中称为自然参数，T(y)称为充分统计量.(通常T(y)=y，但不是所有情况)。只有0,1两种取值的伯努利分布和高斯分布是指数分布族的特例。一般确定一个指数分布族需要知道a,b,T,下面分别求出伯努利分布和高斯分布的a,b,T。

对于伯努利分布：

       

对于高斯分布：                     

从上面的推导可以看出，伯努利分布与高斯分布都是指数分布族的特例。

 

广义线性模型（GLM）

 

在讨论广义线性模型问题之前，先设定一些假设或者说是设计决策：

（1）

（2）given x，goal  is  to output （期望）；want

（3）

对于伯努利分布，对于特定的，算法输出，由于伯努利分布中，y只有0和1两种取值，所以期望。

对于高斯分布，有空回来再算，先挖个坑。

两个概念，了解即可，用的不多。称为正则响应函数；称为正则关联函数。

  

多项式分布（最难的，相当于logistic回归的推广）

在多项式分布中，y的取值不再像logistic回归那样只有0和1两种选择，而是有1到k这k种选择。相应的，参数也有k个，分别是。但要注意，这k个参数相加起来的值为1，这就相当于是冗余的，所以一共有k-1个参数就够了，可以用其他参数表示。需要注意的几点：

                     

那么问题来了，T(y)到底是什么形式呢？看下来：

                  

T(y)均为k-1维向量。

下面介绍指示函数的含义：

                              

指的是T(y)的第i个元素，则。下面进行推导:

 

    推导过程省略，直接给出结论：

         

这种算法称为softmax回归，是推广的logistic回归。既然输出函数已经求出来了，下一步就是求解参数。但要注意此处的不再是向量而是一个矩阵，有n+1行，k-1列。对于logistic regression，theta是列向量（n+1维），对于softmaxregression，theta相当于k-1个logistic regression中的 theta，所以就是k-1列，n+1行。此时T(y)是一个列向量。也可以这么解释，将multinomial分布的概率表达式转换为ExpFamily的形式后，是K-1行的列向量，而GLM的3条假设中，eta=theta的转置*x；所以theta不能再是列向量了。这里的T（y）是一个矩阵，而不是一个数，不像以前的线性回归和二分类，T（y）就是y。

   

        

从上式可以看出，最终会化成与相关的形式，可采用梯度下降算法进行求解。这里先留下来，有空再写。