欧拉聚类（Euler Clustering）

Euler Clustering, Jian-Sheng Wu, Wei-Shi Zheng, Jian-Huang Lai, IJCAI2013

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1 简介（Introduction）

Euler Clustering 作为一种特殊的 Kernel k-means 聚类算法，明式地映射实数空间的数据到相同维数的复数空间，使得它可以有效地处理大规模问题。

2 预备知识（Preliminary）

2.1 基于 Kernel 的 k-means（Kernel k-means）

Kernel k-means 首先使用一个核函数隐式的把数据点从原空间映射到 RKHS 空间（无限维空间数据线性可分），然后在 RKHS 空间 对数据进行聚类。

具体来说，为数据集，为映射函数，C 为聚类个数。kernel k-means 使用 通过最小化 distortion error 来聚类：

其中 mc 为 聚类中心（representative prototype）：

获得最优的 mc 后，剩余的数据点分配给离它最近的 prototypes ：

但是由于数据点在 RKHS 空间的隐式表示，因此 cluster prototypes 不能被明式表示，因此只能使用 kenel trick 来计算 mc

明显它要求较大的内存来存储 full kernel matrix 。每次迭代要求 O(Cn2) 时间用来得到每个数据的标签。因此传统的 kernel k-means 不适合大规模聚类问题。

2.2 欧拉 Kernel（Euler Kernel）

不同于一般的 Mercer 核， Euler Kernel 矩阵 定义在复数空间（complex space）。Euler Kernel 矩阵的 第 (j, q) 个元为

此外我们有 KH=K ，因为 Kqj=K−jq，− 表示复共轭操作（complex conjugate operator）。
Euler kernel 映射数据从 d 维实数空间（real space ） 到 d 维复数 RKHS 空间（complex RKHS space ）

其中 i 为虚数单位 （ imaginary unit）。
因此， RKHS 中 两个映射点的平方Euclidean距离函数 d(
;
)


这里 d 为一个实数。所以尽管 kernel matrix 定义在复数空间，d 仍然可以用来度量两个点之间的相似度。

3 欧拉聚类（Euler Clustering）

Euler kernel 明式地映射数据从实数空间到复数空间，它在复数空间的映射可以明式地表示。因此， cluster representative prototype mc

根据 kernel k-means，有最优的 mc 为

由（6）有

由此我们推导出 Euler clustering 的准则：

全部的算法如下：

时间复杂性：

参考及引用文献
[1] Euler Clustering
[2] [Euler Principal Component Analysis] ()