HDU 5407(2015多校10)-CRB and Candies(组合数最小公倍数+乘法逆元)

题目地址：HDU 5407
题意：CRB有n颗不同的糖果，现在他要吃掉k颗(0<=k<=n)，问k取0~n的方案数的最小公倍数是多少。
思路：首先做这道题我们需要必备的几个技能点。
1. LCM(C(n,0), C(n,1),…, C(n,n))=LCM(1,2,3,…n+1)/(n+1)。额，这个有一篇证明Kummer定理
2.(1) 乘法逆元定义：
满足a*k≡1 (mod p)的k值就是a关于p的乘法逆元(a,p互质)。
(2)为什么要用乘法逆元：
当我们要求（a/b） mod p的值，且a很大，无法直接求得a/b的值时，我们就要用到乘法逆元。我们可以通过求b关于p的乘法逆元k，将a乘上k再模p，即(a*k) mod p。其结果与(a/b) mod p等价。
(3)乘法逆元的解法：
A：逆元可以用扩展欧几里德来解最小的正整数即可:
a*x%p = 1;
a*x = y*p + 1;
a*x -p*y = 1;
B：当p是质数的时候 a/x mod p=a*x^(p-2) mod p
证明：若 a*b mod p = 1 则a和b互为乘法逆元。因为p是质数，所以由费马小定理得出x^(p-1) mod p = 1 ，所以x*x^(p-2) mod p = 1是成立的，所以x 和 x^(p-2) 互为乘法逆元。
当p不是质数的时候a/x mod p=a*x^(phi(p)-1) mod p。

#include <stdio.h>#include <math.h>#include <string.h>#include <stdlib.h>#include <iostream>#include <sstream>#include <algorithm>#include <set>#include <queue>#include <stack>#include <map>#include <bitset>#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")using namespace std;typedef long long  LL;const int inf=0x3f3f3f3f;const double pi= acos(-1.0);const double esp=1e-7;const int Maxn=1e6+10;const int mod=1000000007;bitset<Maxn>pri;int prime[Maxn];int vis[Maxn];int k;LL x;LL f[Maxn];void is_prime(){    pri.set();    for(int i=2;i<Maxn;i++){        if(pri[i]){            prime[k++]=i;            for(int j=i+i;j<Maxn;j+=i)                pri[j]=0;        }    }}LL Mul(LL a,LL b,LL mod){    LL res=0;    while(b>0) {        if(b&1)            res=(res+a)%mod;        b>>=1;        a=(a+a)%mod;    }    return res;}LL modxp(LL a,LL b,LL mod){    LL res=1;    while(b>0) {        if(b&1)            res=Mul(res,a,mod);        b>>=1;        a=Mul(a,a,mod);    }    return res;}void get(){    memset(vis,0,sizeof(vis));    for(int i=0;i<k;i++){//将素数p的k次方p^k标记一下，找出符合的素数        x=prime[i];        while(x<Maxn){            vis[x]=prime[i];            x*=prime[i];        }    }    f[1]=1;    for(int i=2;i<Maxn;i++){        if(vis[i])            f[i]=(f[i-1]*vis[i])%mod;        else            f[i]=f[i-1]%mod;    }}int main(){    int T,n;    is_prime();    get();    scanf("%d",&T);    while(T--){        scanf("%d",&n);        printf("%lld\n",f[n+1]*modxp(n+1,mod-2,mod)%mod);//(f(n+1)/(n+1))%mod    }    return 0;}