机器学习之模型选择（交叉验证）

问题

• 模型选择问题：对于一个学习问题，可以有多种模型选择。比如要拟合一组样本点，可以使用线性回归，也可以用多项式回归。那么使用哪种模型好呢（能够在偏差和方差之间达到平衡最优）？
• 还有一类参数选择问题：如果我们想使用带权值的回归模型，那么怎么选择权重w 公式里的参数τ？
• 形式化定义：假设可选的模型集合是Μ = {M1, M2, … , Md }，比如我们想分类，那么SVM、logistic回归、神经网络等模型都包含在M 中。

交叉验证（Cross validation）

• 我们的第一个任务就是要从M 中选择最好的模型。
• 假设训练集使用S 来表示
• 如果我们想使用经验风险最小化来度量模型的好坏，那么我们可以这样来选择模型：

1、 使用S 来训练每一个Mi，训练出参数后，也就可以得到假设函数hi。（比如，线性模型中得到w后，也就得到了假设函数ℎ(w).2、 选择错误率最小的假设函数。

• 遗憾的是这个算法不可行，比如我们需要拟合一些样本点，使用高阶的多项式回归肯定比线性回归错误率要小，偏差小，但是方差却很大，会过度拟合。因此，我们改进算法如下：

 1、 从全部的训练数据S 中随机选择70%的样例作为训练集strain，剩余的30%作为测试集scv。2、 在strain上训练每一个Mi，得到假设函数hi。3、 在scv上测试每一个hi，得到相应的经验错误E^scv(hi).4、 选择具有最小经验错误E^scv(hi)的hi作为最佳模型。

• 这种方法称为hold-out cross validation 或者称为简单交叉验证。
• 由于测试集是和训练集中是两个世界的，因此我们可以认为这里的经验错误E^scv(hi)接近于泛化错误（generalization error）。这里测试集的比例一般占全部数据1/4-1/3。30%是典型值。
• 还可以对模型作改进，当选出最佳的模型Mi后，再在全部数据S上做一次训练，显然
  训练数据越多，模型参数越准确。
• 简单交叉验证方法的弱点在于得到的最佳模型是在70%的训练数据上选出来的，不代表在全部训练数据上是最佳的。还有当训练数据本来就很少时，再分出测试集后，训练数据就太少了。
• 我们对简单交叉验证方法再做一次改进，如下：

1、 将全部训练集S分成k个不相交的子集，假设S中的训练样例个数为m，那么每一个子集有m/k个训练样例，相应的子集称作{S1, S2, … , Sk}。2、 每次从模型集合M中拿出来一个Mi，然后在训练子集中选择出k-1 个{S1, S2, Sj-1, Sj+1, … , Sk}（也就是每次只留下一个Sj），使用这k-1 个子集训练Mi后，得到假设函数hij。最后使用剩下的一份Sj作测试，得到经验错误E^Sj(hij).3、由于我们每次留下一个Sj（j 从1 到k），因此会得到k 个经验错误，那么对于一个Mi，它的经验错误是这k 个经验错误的平均。4、 选出平均经验错误率最小的Mi，然后使用全部的S 再做一次训练，得到最后的hi。

• 这个方法称为k-fold cross validation（k-折叠交叉验证）。说白了，这个方法就是将简单交叉验证的测试集改为1/k，每个模型训练k 次，测试k次，错误率为k 次的平均。一般讲k 取值为10。这样数据稀疏时基本上也能进行。显然，缺点就是训练和测试次数过多。
• 极端情况下，k 可以取值为m，意味着每次留一个样例做测试，这个称为leave-one-out cross validation。
• 如果我们发明了一种新的学习模型或者算法，那么可以使用交叉验证来对模型进行评价。