快速幂求模



所谓的快速幂，实际上是快速幂取模的缩写，简单的说，就是快速的求一个幂式的模(余)。在程序设计过程中，经常要去求一些大数对于某个数的余数，为了得到更快、计算范围更大的算法，产生了快速幂取模算法。

一.先从简单的例子入手：先求值，在取模。

算法1.首先直接地来设计这个算法：

int ans = 1;for(int i = 1;i<=b;i++)ans = ans * a;ans = ans % c;

这个算法的时间复杂度体现在for循环中，为O（b）.这个算法存在着明显的问题，如果a和b过大，很容易就会溢出。

那么，我们先来看看第一个改进方案：在讲这个方案之前，要先有这样一个公式：

.这个公式大家在离散数学或者数论当中应该学过，不过这里为了方便大家的阅读，还是给出证明：

引理1：（a*b）modn=((a mod n)*(b mod n))mod n

上面公式为下面公式的引理，即积的取余等于取余的积的取余。

证明了以上的公式以后，我们可以先让a关于c取余，这样可以大大减少a的大小，

于是不用思考的进行了改进：

算法2：

int ans = 1;a = a % c; //加上这一句for(int i = 1;i<=b;i++)ans = ans * a;ans = ans % c;

聪明的读者应该可以想到，既然某个因子取余之后相乘再取余保持余数不变，那么新算得的ans也可以进行取余，所以得到比较良好的改进版本。

算法3：

int ans = 1;a = a % c; //加上这一句for(int i = 1;i<=b;i++)ans = (ans * a)% c;//这里再取了一次余ans = ans % c;

这个算法在时间复杂度上没有改进，仍为O(b)，不过已经好很多的，但是在c过大的条件下，还是很有可能超时，所以，我们推出以下的快速幂算法。

二.快速幂算法依赖于以下明显的公式，我就不证明了。

有了上述两个公式后，我们可以得出以下的结论：

1.如果b是偶数，我们可以记k = a²mod c，那么求(k)^b/2 mod c就可以了。

2.如果b是奇数，我们也可以记k =a² mod c，那么求

((k)^b/2 mod c × a ) mod c =((k)^b/2 mod c * a) mod c 就可以了。

 

那么我们可以得到以下算法：

算法4：

int ans = 1;a = a % c;if(b%2==1)ans = (ans *a) mod c; //如果是奇数，要多求一步，可以提前算到ans中k = (a*a) % c; //我们取a2而不是afor(int i = 1;i<=b/2;i++)ans = (ans *k) % c;ans = ans % c;

 

我们可以看到，我们把时间复杂度变成了O(b/2).当然，这样子治标不治本。但我们可以看到，当我们令k = (a * a)mod c时，状态已经发生了变化，我们所要求的最终结果即为(k)^b/2 mod c而不是原来的a^b mod c，所以我们发现这个过程是可以迭代下去的。当然，对于奇数的情形会多出一项a mod c，所以为了完成迭代，当b是奇数时，我们通过

ans = (ans * a) % c;来弥补多出来的这一项，此时剩余的部分就可以进行迭代了。

 

形如上式的迭代下去后，当b=0时，所有的因子都已经相乘，算法结束。于是便可以在O（log b）的时间内完成了。于是，有了最终的算法：快速幂算法。

算法5：快速幂算法

 

int ans = 1;a = a % c;while(b>0){if(b % 2 = = 1)ans = (ans * a) % c;a = (a * a) % c;b /=2 ;    //b>>=2}

将上述的代码结构化，也就是写成函数：

int PowerMod(int a, int b, int c){int ans = 1;a = a % c;while(b>0){if(b % 2 = = 1)ans = (ans * a) % c;a = (a * a) % c;b /=2 ;    //b>>=1}return ans;}

大幂值算法：

long long quickpow(int n,int base){long long ans=1;long long multi=base;while(n){if(n&1)ans*=multi;multi*=multi;n>>=1;}return ans;}

本算法的时间复杂度为O（logb），能在几乎所有的程序设计（竞赛）过程中通过，是目前最常用的算法之一。

以下内容仅供参考：

扩展：有关于快速幂的算法的推导，还可以从另一个角度来想。

=？ 求解这个问题，我们也可以从进制转换来考虑：

将10进制的b转化成2进制的表达式：

那么，实际上，.

所以

注意此处的要么为0，要么为1，如果某一项，那么这一项就是1，这个对应了上面算法过程中b是偶数的情况，为1对应了b是奇数的情况[不要搞反了，读者自己好好分析，可以联系10进制转2进制的方法]，我们从依次乘到。对于每一项的计算，计算后一项的结果时用前一项的结果的平方取余。对于要求的结果而言，为时ans不用把它乘起来，[因为这一项值为1]，为1项时要乘以此项再取余。这个算法和上面的算法在本质上是一样的，读者可以自行分析，这里我说不多说了，希望本文有助于读者掌握快速幂算法的知识点，当然，要真正的掌握，不多练习是不行的。

By  夜せ︱深

 

代码！！！

__int64 fun(__int64 a,__int64 b,__int64 c)//a的b次方对c求余

{
__int64 ans=1;
a%=c;
while(b>0)
{
if(b%2==1)ans=(ans*a)%c;
b/=2;
a=(a*a)%c;
}
return ans;
}

三.关于矩阵的快速幂算法

void MetrixMul(int p1[2][2],int p2[2][2]){int t[2][2];t[0][0]=(p1[0][0]*p2[0][0]%10000+p1[0][1]*p2[1][0]%10000)%10000;t[0][1]=(p1[0][0]*p2[0][1]%10000+p1[0][1]*p2[1][1]%10000)%10000;t[1][0]=(p1[1][0]*p2[0][0]%10000+p1[1][1]*p2[1][0]%10000)%10000;t[1][1]=(p1[1][0]*p2[0][1]%10000+p1[1][1]*p2[1][1]%10000)%10000;p1[0][0]=t[0][0];p1[0][1]=t[0][1];p1[1][0]=t[1][0];p1[1][1]=t[1][1];}void MetrixPow(int p[2][2],int n){int t[2][2];t[0][0]=p[0][0];t[0][1]=p[0][1];t[1][0]=p[1][0];t[1][1]=p[1][1];if(n==1)return;else if(n%2){MetrixPow(p,n-1);MetrixMul(p,t);}else{MetrixPow(p,n/2);MetrixMul(p,p);}}

或者

Matrix I = {1,0,0,            0,1,0,            0,0,1,           };           Matrix matrixmul(Matrix a,Matrix b) //矩阵乘法{       int i,j,k;       Matrix c;       for (i = 0 ; i < MAX; i++)           for (j = 0; j < MAX;j++)             {                 c.m[i][j] = 0;                 for (k = 0; k < MAX; k++)                     c.m[i][j] += (a.m[i][k] * b.m[k][j])%9997;                 c.m[i][j] %= 9997;             }       return c;}          Matrix quickpow(Martix P,long long n){       Matrix m = P, b = I;       while (n >= 1)       {             if (n & 1)                b = matrixmul(b,m);             n = n >> 1;             m = matrixmul(m,m);       }       return b;}