POJ-1942-Paths on a Grid-组合数学

给定一个矩形网格的长m和高n，其中m和n都是unsigned int32类型，一格代表一个单位，就是一步，求从左下角到右上角有多少种走法，每步只能向上或者向右走

 

解题思路：

非常水的中学数学题，用组合做

先简单建立一个数学模型：

只要给定了长m和高n，那么要从左下角走到右上角，不管怎么走，一定要往右走m次，往上走n次

例如给定 m=5,n=4

那么可以  上上上上上右右右右

又可以    上右上右上右上右上

等等。。。

关键是“上”和“右”的先后问题，就是组合问题了

那么数学模型就是

从n+m个位置，选择n个位放“上” （那么剩下m个位一定是“右”）

处理阶乘有三种办法：

（1）       传统意义上的直接递归，n的规模最多到20+，太小了，在本题不适用，而且非常慢

（2）       稍快一点的算法，就是利用log()化乘为加，n的规模虽然扩展到1000+，但是由于要用三重循环，一旦n规模变得更大，耗时就会非常之严重,时间复杂度达到O(n*m*(n-m))，本题规定了n，m用unsigned int32类型，就是说n,m的规模达到了21E以上，铁定TLE的。而且就算抛开时间不算，还存在一个致命的问题，就是精度损失随着n的增加会变得非常严重。

因为n有多大，就要进行n次对数运算，n规模一旦过大，就会丢失得非常严重了。所以这种方法是绝对不可取的，因为中途的精度丢失不是简单的四舍五入可以挽回的。

（3）       拆分阶乘，逐项相除，再乘以前面所有项之积。这种方法用一个循环就OK了，时间复杂度只有O(n-m)，非常可观。

 

 下面我根据程序详细说说算法（3）：

       double cnm=1.0;

       while(b>0)

              cnm*=(double)(a- -)/(double)(b- -);

 

这是我写的函数原型，计算的是 aCb

 

这种算法巧妙地利用了分子分母的关系，而不是把公示中的3个阶乘单独处理。

例如当 a=5,b=2时

处理阶乘有三种办法：

（1）       传统意义上的直接递归，n的规模最多到20+，太小了，在本题不适用，而且非常慢

（2）       稍快一点的算法，就是利用log()化乘为加，n的规模虽然扩展到1000+，但是由于要用三重循环，一旦n规模变得更大，耗时就会非常之严重,时间复杂度达到O(n*m*(n-m))，本题规定了n，m用unsigned int32类型，就是说n,m的规模达到了21E以上，铁定TLE的。而且就算抛开时间不算，还存在一个致命的问题，就是精度损失随着n的增加会变得非常严重。

因为n有多大，就要进行n次对数运算，n规模一旦过大，就会丢失得非常严重了。所以这种方法是绝对不可取的，因为中途的精度丢失不是简单的四舍五入可以挽回的。

（3）       拆分阶乘，逐项相除，再乘以前面所有项之积。这种方法用一个循环就OK了，时间复杂度只有O(n-m)，非常可观。

 

 下面我根据程序详细说说算法（3）：

       double cnm=1.0;

       while(b>0)

              cnm*=(double)(a- -)/(double)(b- -);

 

这是我写的函数原型，计算的是 aCb

 

这种算法巧妙地利用了分子分母的关系，而不是把公示中的3个阶乘单独处理。

例如当 a=5,b=2时

由于用了 double去计算组合数，那么最后要转化为 无符号整型 时就要处理精度问题，有两种方法：四舍五入+强制类型转换  或者 用 setprecision()函数

详细看我的两个程序

/*强制类型转换输出*///Memory Time //220K   0MS #include<iostream>#include<math.h>using namespace std;/*Compute (n+m)C min{n,m}*/unsigned comp(unsigned n,unsigned m){unsigned a=m+n;unsigned b=(m<n?m:n);double cnm=1.0;while(b>0)cnm*=(double)(a--)/(double)(b--);    cnm+=0.5;      //double转unsigned会强制截断小数，必须先四舍五入return (unsigned)cnm;}int main(void){unsigned m,n;while(true){cin>>m>>n;if(!m && !n)//承认这题的猥琐吧！竟然有其中一边为0的矩阵，一定要&&，用||会WAbreak;cout<<comp(n,m)<<endl;}return 0;}

萌萌的分界线------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

/*自定义精度输出*///Memory Time //220K   0MS #include<iostream>#include<math.h>#include<iomanip>using namespace std;/*Compute (n+m)C min{n,m}*/double comp(unsigned n,unsigned m){unsigned a=m+n;unsigned b=(m<n?m:n);double cnm=1.0;while(b>0)cnm*=(double)(a--)/(double)(b--);return cnm;}int main(void){unsigned m,n;while(true){cin>>m>>n;if(!m && !n)break;cout<<fixed<<setprecision(0)<<comp(n,m)<<endl;  //fixed是为了固定小数位数//setprecision()函数是会自动四舍五入的，所以不用像强制类型转换那样预先+0.5}return 0;}