Sumdiv(POJ--1845
来源:互联网 发布:大数据技术及应用 编辑:程序博客网 时间:2024/06/11 00:18
Description
Input
Output
(1) 整数的唯一分解定理:
任意正整数都有且只有一种方式写出其素因子的乘积表达式。
A=(p1^k1)*(p2^k2)*(p3^k3)*....*(pn^kn) 其中pi均为素数
(2) 约数和公式:
对于已经分解的整数A=(p1^k1)*(p2^k2)*(p3^k3)*....*(pn^kn)
A的所有因子之和为
S = (1+p1+p1^2+p1^3+...p1^k1) * (1+p2+p2^2+p2^3+….p2^k2) * (1+p3+ p3^3+…+ p3^k3) * .... * (1+pn+pn^2+pn^3+...pn^kn)
(3) 同余模公式:
(a+b)%m=(a%m+b%m)%m
(a*b)%m=(a%m*b%m)%m
计算方式:
(1) 对A进行素因子分解
分解A的方法:
A首先对第一个素数2不断取模,A%2==0时 ,记录2出现的次数+1,A/=2;
当A%2!=0时,则A对下一个连续素数3不断取模...
以此类推,直到A==1为止。
注意特殊判定,当A本身就是素数时,无法分解,它自己就是其本身的素数分解式。
(2) A^B的所有约数之和为:
sum = [1+p1+p1^2+...+p1^(a1*B)] * [1+p2+p2^2+...+p2^(a2*B)] *...* [1+pn+pn^2+...+pn^(an*B)].
(3) 用递归二分求等比数列1+pi+pi^2+pi^3+...+pi^n:
上式红色加粗的前半部分恰好就是原式的一半,那么只需要不断递归二分求和就可以了,后半部分为幂次式。
上式红色加粗的前半部分恰好就是原式的一半,依然递归求解
(4) 反复平方法计算幂次式p^n
这是本题关键所在,求n次幂方法的好坏,决定了本题是否TLE。
以p=2,n=8为例
常规是通过连乘法求幂,即2^8=2*2*2*2*2*2*2*2
这样做的要做8次乘法
而反复平方法则不同,
定义幂sq=1,再检查n是否大于0,
While,循环过程若发现n为奇数,则把此时的p值乘到sq
{
n=8>0 ,把p自乘一次, p=p*p=4 ,n取半 n=4
n=4>0 ,再把p自乘一次, p=p*p=16 ,n取半 n=2
n=2>0 ,再把p自乘一次, p=p*p=256 ,n取半 n=1,sq=sq*p
n=1>0 ,再把p自乘一次, p=p*p=256^2 ,n取半 n=0,弹出循环
}
则sq=256就是所求,显然反复平方法只做了3次乘法
Sample Input
2 3
Sample Output
15
Hint
The natural divisors of 8 are: 1,2,4,8. Their sum is 15.
15 modulo 9901 is 15 (that should be output).
<span style="font-size: 18pt;">#include <cstdio>#define ll long long#define mod 9901using namespace std;ll pows(ll a,ll b) //反复平方法计算幂次式p^n{ ll ans=1; while(b) { if(b%2) //b是奇数的情况下要再额外乘以一个a ans=(ans*a)%mod; a=a*a%mod; //a平方 b/=2; //幂数折半 } return ans;}ll sum(ll p,ll k){ if(k==0) return 1; if(k%2) //k是奇数情况下的递归求和 return (sum(p,k/2)*(1+pows(p,k/2+1)))%mod; else //k是偶数情况下的递归求和 return (sum(p,k/2-1)*(1+pows(p,k/2+1))+pows(p,k/2))%mod;}int main(){ ll a,b; while(~scanf("%lld %lld",&a,&b)) { ll ans=1,p=2; while(p*p<=a) //枚举所有的素数 { ll cnt=0; while(a%p==0) { cnt++; //累加该素数p 的个数 a/=p; } if(cnt) ans=(ans*sum(p,cnt*b))%mod; p++; } if(a!=1) //a不能再被分解且此时还不是1 ans=(ans*sum(a,b))%mod; printf("%lld\n",ans); } return 0;}</span>
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