数论线性筛总结 (素数筛，欧拉函数筛，莫比乌斯函数筛，前n个数的约数个数筛)

线性筛

线性筛在数论中起着至关重要的作用，可以大大降低求解一些问题的时间复杂度，使用线性筛有个前提(除了素数筛)所求函数必须是数论上定义的积性函数，即对于正整数n的一个算术函数 f(n)，若f(1)=1，且当a,b互质时f(ab)=f(a)f(b)，在数论上就称它为积性函数，若a,b不互质也满足的话则称作完全积性函数，下面说明每个筛子是怎么筛的。

最基础的是素数筛，其它三个筛都是以素数筛为前提

素数筛

void get_prime()  {      int pnum = 0;       for(int i = 2; i < MAX; i++)      {          if(!noprime[i])              p[pnum ++] = i;          for(int j = 0; j < pnum && i * p[j] < MAX; j++)          {              noprime[i * p[j]] = true;            if(i % p[j] == 0)                  break;          }      }  }

主要是break那里，比如12这个数，在普通筛的时候12要被2和3都筛一次，显然这种多余的操作会增加时间复杂度，线性筛中一个数字只被它最小的素因子筛掉，12只被2筛掉，当i等于6的时候2*6==12筛掉12，这时候6%2==0可以break了，如果不break，那么6还会把18筛掉，此时是通过6*3来筛掉18，可是显然18最小的素因子是2，所以当i枚举到9的时候有9*2==18，这样18就又被筛了一次，因此在i等于6的时候不用拿6去筛18，下面用公式来说明：

当p[j]是i的因子时，设i=p[j]*k，因为素因子从小到大枚举，所以p[j]是i的最小素因子，此时i已经无需再去剔除p[j']*i (j'>j) 形式的合数了，因为p[j']*i可以写成p[j']*(p[j]*k)=p[j]*(p[j']*k)，也就是说所有的p[j']*i将会被将来的某个i'=p[j']*k剔除掉，当前的i已经不需要了。

欧拉函数筛

欧拉函数phi[i]表示的是与1－i中与i互质的数的个数。

求解时分三种情况：

1.当i为素数时，显然phi[i] = i - 1

2.当i % p[j] != 0时，gcd(i, p[j]) = 1，由积性函数的性质可得phi[i * p[j]] = phi[i] * phi[p[j]] = phi[i] * (p[j] - 1)  (p数组表示素数)

3.当i % p[j] ==0时，根据欧拉函数的求法：phi[n] = n * ∏(1 - 1/p)，p为n的质因子，故若i % p[j] == 0，i * p[j]的质因子数不变

则phi[i * p[j]] = i * p[j] * ∏(1 - 1/p) = p[j] * i * ∏(1 - 1/p) = p[j] * phi[i]

由此得到欧拉函数筛：

void get_eular()  {      pnum = 0;    for(int i = 2; i < MAX; i++)      {          if(!noprime[i])          {              p[pnum ++] = i;              phi[i] = i - 1;          }          for(int j = 0; j < pnum && i * p[j] < MAX; j++)          {              noprime[i * p[j]] = true;              if(i % p[j] == 0)              {                  phi[i * p[j]] = phi[i] * p[j];                  break;              }              phi[i * p[j]] = phi[i] * (p[j] - 1);          }      }  } 

莫比乌斯函数筛

莫比乌斯函数mob[i]

若i为奇数个不同素数之积mob[i] = -1

若i为偶数个不同素数之积mob[i] = 1

若i有平方因子则mob[i] = 0。

这个做起来比欧拉函数容易，在素数筛上，若i为素数则mob[i] = -1，若i % p[j] == 0，则mob[i * p[j]] = 0，显然p[j]就是它的平方因子，否则mob[i * p[j]] = -mob[i]

由此得到莫比乌斯函数筛：

void Mobius(){    int pnum = 0;    mob[1] = 1;    for(int i = 2; i < MAX; i++)    {        if(noprime[i])        {            p[pnum ++] = i;            mob[i] = -1;        }        for(int j = 0; j < pnum && i * p[j] < MAX; j++)        {            noprime[i * p[j]] = false;            if(i % p[j] == 0)            {                mob[i * p[j]] = 0;                break;            }            mob[i * p[j]] = -mob[i];        }    }}

前n个数的约数个数筛

facnum[i]表示i的约数个数

通过素数筛得到前n个数的约数个数非常巧妙，首先根据约数个数定理：

对于一个大于1正整数n可以分解质因数：n = p1^d1 + p2^d2 + ... + pk^dk，其中pi为素数

则n的正约数的个数就是

：facnum[n] = (1 + d1) * (1 + d2) * ... * (1 + dk)
我们需要一个辅助数组d[i]，表示i的最小质因子的次幂，(最小的原因是素数筛里每次都是用最小的质因子来筛合数的)，还是三种情况：
1.当i为素数时，facnum[i] = 2；d[i] = 1，很好理解
2.当i % p[j] != 0时，gcd(i, p[j]) =1，由积性函数的性质可得facnum[i * p[j]] = facnum[i] * facnum[p[j]] = facnum[i] * 2
   d[i * p[j]] = 1(无平方因子)
3.当i % p[j] == 0时，出现平方因子，最小质因子的次幂加1，因此有facnum[i * p[j]] = facnum[i] / (d[i] + 1) * (d[i] + 2)
   d[i * p[j]] = d[i] + 1
由此得到前n个数的约数个数筛：

void get_facnum(){    int pnum = 0;    facnum[1] = 1;    for(int i = 2; i < MAX; i++)    {        if(!noprime[i])        {            p[pnum ++] = i;               facnum[i] = 2;              d[i] = 1;              }        for(int j = 0; j < pnum && i * p[j] < MAX; j++)        {            noprime[i * p[j]] = true;            if(i % p[j] == 0)            {                facnum[i * p[j]] = facnum[i] / (d[i] + 1) * (d[i] + 2);                 d[i * p[j]] = d[i] + 1;                 break;            }            facnum[i * p[j]] = facnum[i] * 2;            d[i * p[j]] = 1;         }    }}

四合一

void get_all(){    int pnum = 0;    phi[1] = 1;    mob[1] = 1;    facnum[1] = 1;    for(int i = 2; i < MAX; i++)    {        if(!noprime[i])        {            phi[i] = i - 1;            mob[i] = -1;            p[pnum ++] = i;               facnum[i] = 2;              d[i] = 1;              }        for(int j = 0; j < pnum && i * p[j] < MAX; j++)        {            noprime[i * p[j]] = true;            if(i % p[j] == 0)            {                phi[i * p[j]] = phi[i] * p[j];                mob[i * p[j]] = 0;                facnum[i * p[j]] = facnum[i] / (d[i] + 1) * (d[i] + 2);                 d[i * p[j]] = d[i] + 1;                 break;            }            phi[i * p[j]] = phi[i] * (p[j] - 1);            mob[i * p[j]] = -mob[i];            facnum[i * p[j]] = facnum[i] * 2;            d[i * p[j]] = 1;         }    }}

最后吐槽一下，对于素数筛里的判断函数，最好用noprime，因为全局默认值为false，有的时候MAX为1e7之类的，memset成true也费不少