三种线性排序算法 计数排序、桶排序与基数排序

[非基于比较的排序]

在计算机科学中，排序是一门基础的算法技术，许多算法都要以此作为基础，不同的排序算法有着不同的时间开销和空间开销。排序算法有非常多种，如我们最常用的快速排序和堆排序等算法，这些算法需要对序列中的数据进行比较，因为被称为基于比较的排序。

基于比较的排序算法是不能突破O(NlogN)的。简单证明如下：

N个数有N!个可能的排列情况，也就是说基于比较的排序算法的判定树有N!个叶子结点，比较次数至少为log(N!)=O(NlogN)(斯特林公式)。

而非基于比较的排序，如计数排序，桶排序，和在此基础上的基数排序，则可以突破O(NlogN)时间下限。但要注意的是，非基于比较的排序算法的使用都是有条件限制的，例如元素的大小限制，相反，基于比较的排序则没有这种限制(在一定范围内)。但并非因为有条件限制就会使非基于比较的排序算法变得无用，对于特定场合有着特殊的性质数据，非基于比较的排序算法则能够非常巧妙地解决。

本文着重介绍三种线性的非基于比较的排序算法：计数排序、桶排序与基数排序。

[计数排序]

首先从计数排序(Counting Sort)开始介绍起，假设我们有一个待排序的整数序列A，其中元素的最小值不小于0，最大值不超过K。建立一个长度为K的线性表C，用来记录不大于每个值的元素的个数。

算法思路如下：

1. 扫描序列A，以A中的每个元素的值为索引，把出现的个数填入C中。此时C[i]可以表示A中值为i的元素的个数。
2. 对于C从头开始累加，使C[i]<-C[i]+C[i-1]。这样，C[i]就表示A中值不大于i的元素的个数。
3. 按照统计出的值，输出结果。

由线性表C我们可以很方便地求出排序后的数据，定义B为目标的序列，Order[i]为排名第i的元素在A中的位置，则可以用以下方法统计。

/* 计数排序 */#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cmath>#include <cstring>using namespace std;void CountingSort(int *A,int *B,int *Order,int N,int K){    int*C=new int[K+1];    int i;    memset(C,0,sizeof(int)*(K+1));    for (i=1;i<=N;i++) //对A中的每个数，进行计数        C[A[i]]++;        for (i=2;i<=K;i++) //统计不大于i的元素的个数            C[i]+=C[i-1];        for (i=N;i>=1;i--) {            B[C[A[i]]]=A[i]; //B保存的是排好序的数，C保存的是B中排在第i位的数在A中的位置            Order[C[A[i]]]=i;            C[A[i]]--;        }}int main() {    int *A,*B,*Order,N=15,K=10,i;    A=new int[N+1];    B=new int[N+1];    Order=new int[N+1];    for (i=1;i<=N;i++) { //生成1..K的随机数        A[i]=rand()%K+1;    }    printf("Before CS:\n");    for (i=1;i<=N;i++)        printf("%d ",A[i]);    CountingSort(A,B,Order,N,K);    printf("\nAfter CS:\n");    for (i=1;i<=N;i++)        printf("%d ",B[i]);    printf("\nOrder:\n");    for (i=1;i<=N;i++)        printf("%d ",Order[i]);    return 0;}

程序运行效果如下：

Before CS:

8 10 4 9 1 3 5 9 4 10 1 6 3 3 8 

After CS:

1 1 3 3 3 4 4 5 6 8 8 9 9 10 10 

Order:

5 11 6 13 14 3 9 7 12 1 15 4 8 2 10 

显然地，计数排序的时间复杂度为O(N+K)，空间复杂度为O(N+K)。当K不是很大时，这是一个很有效的线性排序算法。更重要的是，它是一种稳定排序算法，即排序后的相同值的元素原有的相对位置不会发生改变(表现在Order上)，这是计数排序很重要的一个性质，就是根据这个性质，我们才能把它应用到基数排序。

[桶排序]

可能你会发现，计数排序似乎饶了点弯子，比如当我们刚刚统计出C，C[i]可以表示A中值为i的元素的个数，此时我们直接顺序地扫描C，就可以求出排序后的结果。的确是这样，不过这种方法不再是计数排序，而是桶排序(Bucket Sort)，确切地说，是桶排序的一种特殊情况。

用这种方法，可以很容易写出程序，比计数排序还简单，只是不能求出稳定的Order。

/*桶排序特殊实现 */#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cmath>#include <cstring>using namespace std;void BucketSort(int *A,int *B,int N,int K) {    int *C=new int[K+1];    int i,j,k;    memset(C,0,sizeof(int)*(K+1));    for (i=1;i<=N;i++) //把A中的每个元素按照值放入桶中        C[A[i]]++;    for (i=j=1;i<=K;i++,j=k) //统计每个桶元素的个数，并输出到B        for (k=j;k<j+C[i];k++)            B[k]=i;}int main() {    int *A,*B,N=15,K=10,i;    A=new int[N+1];    B=new int[N+1];    for (i=1;i<=N;i++)        A[i]=rand()%K+1; //生成1..K的随机数    BucketSort(A,B,N,K);    for (i=1;i<=N;i++)        printf("%d ",B[i]);    return 0;}

这种特殊实现的方式时间复杂度为O(N+K)，空间复杂度也为O(N+K)，同样要求每个元素都要在K的范围内。更一般的，如果我们的K很大，无法直接开出O(K)的空间该如何呢?

首先定义桶，桶为一个数据容器，每个桶存储一个区间内的数。依然有一个待排序的整数序列A，元素的最小值不小于0，最大值不超过K。假设我们有M个桶，第i个桶Bucket[i]存储iK/M至(i+1)K/M之间的数，有如下桶排序的一般方法：

1. 扫描序列A，根据每个元素的值所属的区间，放入指定的桶中(顺序放置)。
2. 对每个桶中的元素进行排序，什么排序算法都可以，例如快速排序。
3. 依次收集每个桶中的元素，顺序放置到输出序列中。

对该算法简单分析，如果数据是期望平均分布的，则每个桶中的元素平均个数为N/M。如果对每个桶中的元素排序使用的算法是快速排序，每次排序的时间复杂度为O(N/Mlog(N/M))。则总的时间复杂度为O(N)+O(M)O(N/Mlog(N/M)) = O(N+ Nlog(N/M)) =O(N + NlogN - NlogM)。当M接近于N是，桶排序的时间复杂度就可以近似认为是O(N)的。就是桶越多，时间效率就越高，而桶越多，空间却就越大，由此可见时间和空间是一个矛盾的两个方面。

桶中元素的顺序放入和顺序取出是有必要的，因为这样可以确定桶排序是一种稳定排序算法，配合基数排序是很好用的。

/* 桶排序一般实现 */#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cmath>#include <cstring>using namespace std;struct linklist{    linklist *next;    int value;    linklist(int v,linklist *n):value(v),next(n){}    ~linklist() {        if (next) delete next;    }};inline int cmp(const void *a,const void *b) {    return *(int *)a-*(int *)b;}/* 为了方便，我把A中元素倒序放入相应的桶中，而收集取出时也是倒序放入序列的，所以不违背稳定性排序。 */void BucketSort(int *A,int *B,int N,int K) {    linklist *Bucket[101],*p; //建立桶    int i,j,k,M; M=K/100;    memset(Bucket,0,sizeof(Bucket));    for (i=N;i>=1;i--) {        k=A[i]/M; //把A中的每个元素按照数值放入对应桶中        Bucket[k]=new linklist(A[i],Bucket[k]);    }    for (k=j=0;k<=100;k++) {        i=j;        for (p=Bucket[k];p;p=p->next) {            if (k==0) {                printf("%d ", p->value);            }            B[++j]=p->value; //把桶中每个元素取出，放入B并排序        }        delete Bucket[k];        qsort(B+i+1,j-i,sizeof(B[0]),cmp);    }}int main() {    int *A,*B,N=15000,K=10000,i;    A=new int[N+1];    B=new int[N+1];    for (i=1;i<=N;i++) {        A[i]=rand()%K+1; //生成1..K的随机数    }    BucketSort(A,B,N,K);    for (i=1;i<=N;i++)        printf("%d ",B[i]);    return 0;}

[基数排序]

下面说到我们的重头戏，基数排序(Radix Sort)。上述的计数排序和桶排序都只是在研究一个关键字的排序，现在我们来讨论有多个关键字的排序问题。

假设我们有一些二元组(a,b)，要对它们进行以a为首要关键字，b为次要关键字的排序。我们可以先把它们按照首要关键字排序，分成首要关键字相同的若干堆。然后，再按照次要关键字分别对每一堆进行单独排序。最后再把这些堆串连到一起，使首要关键字较小的一堆排在前面。按这种方式的基数排序称为MSD(Most Significant Dight)排序。

第二种方式是从最低有效关键字开始排序，称为LSD(Least Significant Dight)排序。首先对所有的数据按照次要关键字排序，然后对所有的数据按照首要关键字排序。要注意的是，使用的排序算法必须是稳定的，否则就会取消前一次排序的结果。由于不需要分堆对每堆单独排序，LSD方法往往比MSD简单而开销小。下文介绍的方法全部是基于LSD的。

通常，基数排序要用到计数排序或者桶排序。使用计数排序时，需要的是Order数组。使用桶排序时，可以用链表的方法直接求出排序后的顺序。下面是一段用桶排序对二元组基数排序的程序：

/*基数排序 结构数组 */#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cmath>#include <cstring>using namespace std;struct data {    int key[2];};struct linklist {    linklist *next;    data value;    linklist(data v,linklist *n):value(v),next(n){}    ~linklist() {        if (next)            delete next;    }};void BucketSort(data *A,int N,int K,int y) {    linklist *Bucket[101],*p;//建立桶    int i,j,k,M; M=K/100+1;    memset(Bucket,0,sizeof(Bucket));    for (i=1;i<=N;i++) {        k=A[i].key[y]/M; //把A中的每个元素按照数值放入对应桶中        Bucket[k]=new linklist(A[i],Bucket[k]);    }    for (k=j=0;k<=100;k++) {        for (p=Bucket[k];p;p=p->next)            j++;        for (p=Bucket[k],i=1;p;p=p->next,i++)            A[j-i+1]=p->value; //把桶中每个元素取出        delete Bucket[k];    }}void RadixSort(data *A,int N,int K) {    for (int j=1;j>=0;j--) //从低优先到高优先 LSD        BucketSort(A,N,K,j);}int main() {    int N=100,K=1000,i;    data *A=new data[N+1];    for (i=1;i<=N;i++) {        A[i].key[0]=rand()%K+1;        A[i].key[1]=rand()%K+1;    }    RadixSort(A,N,K);    for (i=1;i<=N;i++)        printf("(%d,%d) ",A[i].key[0],A[i].key[1]);    printf("\n");    return 0;}

对于一个位数有限的十进制数，我们可以把它看作一个多元组，从高位到低位关键字重要程度依次递减。可以使用基数排序对一些位数有限的十进制数排序。

[三种线性排序算法的比较]

从整体上来说，计数排序，桶排序都是非基于比较的排序算法，而其时间复杂度依赖于数据的范围，桶排序还依赖于空间的开销和数据的分布。而基数排序是一种对多元组排序的有效方法，具体实现要用到计数排序或桶排序。

相对于快速排序、堆排序等基于比较的排序算法，计数排序、桶排序和基数排序限制较多，不如快速排序、堆排序等算法灵活性好。但反过来讲，这三种线性排序算法之所以能够达到线性时间，是因为充分利用了待排序数据的特性，如果生硬得使用快速排序、堆排序等算法，就相当于浪费了这些特性，因而达不到更高的效率。

在实际应用中，基数排序可以用于后缀数组的倍增算法，使时间复杂度从O(NlogNlogN)降到O(N*logN)。线性排序算法使用最重要的是，充分利用数据特殊的性质，以达到最佳效果。