poj 1091 跳蚤(最大公约数原理+容斥原理)
来源:互联网 发布:食品的分销网络 编辑:程序博客网 时间:2024/05/22 00:17
题目:http://poj.org/problem?id=1091
跳蚤
Time Limit: 1000MS Memory Limit: 10000KTotal Submissions: 9058 Accepted: 2709
Description
Z城市居住着很多只跳蚤。在Z城市周六生活频道有一个娱乐节目。一只跳蚤将被请上一个高空钢丝的正中央。钢丝很长,可以看作是无限长。节目主持人会给该跳蚤发一张卡片。卡片上写有N+1个自然数。其中最后一个是M,而前N个数都不超过M,卡片上允许有相同的数字。跳蚤每次可以从卡片上任意选择一个自然数S,然后向左,或向右跳S个单位长度。而他最终的任务是跳到距离他左边一个单位长度的地方,并捡起位于那里的礼物。
比如当N=2,M=18时,持有卡片(10, 15, 18)的跳蚤,就可以完成任务:他可以先向左跳10个单位长度,然后再连向左跳3次,每次15个单位长度,最后再向右连跳3次,每次18个单位长度。而持有卡片(12, 15, 18)的跳蚤,则怎么也不可能跳到距他左边一个单位长度的地方。
当确定N和M后,显然一共有M^N张不同的卡片。现在的问题是,在这所有的卡片中,有多少张可以完成任务。
比如当N=2,M=18时,持有卡片(10, 15, 18)的跳蚤,就可以完成任务:他可以先向左跳10个单位长度,然后再连向左跳3次,每次15个单位长度,最后再向右连跳3次,每次18个单位长度。而持有卡片(12, 15, 18)的跳蚤,则怎么也不可能跳到距他左边一个单位长度的地方。
当确定N和M后,显然一共有M^N张不同的卡片。现在的问题是,在这所有的卡片中,有多少张可以完成任务。
Input
两个整数N和M(N <= 15 , M <= 100000000)。
Output
可以完成任务的卡片数。
Sample Input
2 4
Sample Output
12
Hint
这12张卡片分别是:
(1, 1, 4), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (1, 4, 4), (2, 1, 4), (2, 3, 4),
(3, 1, 4), (3, 2, 4), (3, 3, 4), (3, 4, 4), (4, 1, 4), (4, 3, 4)
(1, 1, 4), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (1, 4, 4), (2, 1, 4), (2, 3, 4),
(3, 1, 4), (3, 2, 4), (3, 3, 4), (3, 4, 4), (4, 1, 4), (4, 3, 4)
分析:跳蚤跳跃的过程划成数学表达式是 设卡片上的标号是x,系数是a,那么有:
于是要求在1---M-1内有多少N个数字的组合满足上式。对M因子分解,利用容斥原理求得不能达到要求的结果,那么最后答案就是
(容斥原理——奇加偶减)中间的因子个数奇偶性部分可以用2进制枚举
#include <iostream>#include <cstdio>using namespace std;typedef long long LL;const int maxn=1e4+10;LL factor[maxn],top;void resolve(LL x){ top=0; for(int i=2;i*i<=x;i++){ if(x%i==0){ factor[top++]=i; while(x%i==0) x/=i; } } if(x>1) factor[top++]=x;}LL power(LL a,LL p){ LL ans=1,temp=a; while(p){ if(p&1) ans=ans*temp; temp=temp*temp; p>>=1; } return ans;}int main(){ //freopen("cin.txt","r",stdin); LL n,m; while(cin>>n>>m){ resolve(m); LL ans=0; for(int i=1;i<(1<<top);i++){ LL t=1,sum=0; for(int j=0;j<top;j++){ if(i&(1<<j)){ sum++; t=t*factor[j]; } } if(sum&1) ans+=power(m/t,n); else ans-=power(m/t,n); } printf("%lld\n",power(m,n)-ans); } return 0;}
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