3314 扩展gcd 及 扩展gcd的原理
来源:互联网 发布:statistics软件 编辑:程序博客网 时间:2024/05/23 23:48
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提示
扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x,y使得a*x+b*y=Gcd(a,b)(解一定存在,根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中
原理.
对于不完全为 0 的非负整数 a,b,gcd(a,b)表示 a,b 的最大公约数,必然存在无数组整
数对 x,y ,使得 gcd(a,b)=ax+by。
c++语言实现
int exGcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0)
{
x=1;y=0;
return a;
}
int r=exGcd(b,a%b,x,y);
int t=x;x=y;y=t-a/b*y;
return r;
}
求解 x,y的方法的理解
设 a>b。
1,显然当 b=0,gcd(a,b)=a。此时 x=1,y=0;
2,a>b>0 时
设 ax1+ by1= gcd(a,b);
bx2+ (a mod b)y2= gcd(b,a mod b);
根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b);
则:ax1+ by1= bx2+ (a mod b)y2;
即:ax1+ by1= bx2+ (a - [a / b] * b)y2=ay2+ bx2- [a / b] * by2;
也就是ax1+ by1 == ay2+ b(x2- [a / b] *y2);
根据恒等定理得:x1=y2; y1=x2- [a / b] *y2;
这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法:x1,y1 的值基于 x2,y2.
上面的思想是以递归定义的,因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0,所以递归可以结束。
性质
ax+by=gcd;
ax+by=c;
c是gcd的整数倍时
(x0*c/gcd,y0*c/gcd);
不是整数倍时无整数解
ax+by=gcd;
其他一系列的解为(x0+kb`,y0-ka`);
a`=a/gcd(a,b);
b`=b/gcd;
#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cstdlib>#include<algorithm>#include<map>#define INF 0x3f3f3f3f#define LL long longusing namespace std;int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){if(b==0){x=1;y=0;return a;}else{ int r=exgcd(b,a%b,x,y); int t=x; x=y; y=t-(a/b)*y; return r;}}int main(){int n,m; while(~scanf("%d%d",&n,&m)) { int x,y,gcd;gcd = exgcd(n,m,x,y); <span id="transmark"></span> x=(x%m+m)%m;//求最小的非负数x/* x = x*1/gcd; x = (x%(m/gcd)+(m/gcd))%(m/gcd); */printf("%d\n",x); }}
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