Dancing Link讲解

学了一下精确覆盖问题，这个博客写的真的很好，赞一下：

http://www.cnblogs.com/grenet/p/3145800.html

http://www.cnblogs.com/grenet/p/3163550.html

我就直接转载了，当做保存：

第一篇：

精确覆盖问题的定义：给定一个由0-1组成的矩阵，是否能找到一个行的集合，使得集合中每一列都恰好包含一个1

例如：如下的矩阵

就包含了这样一个集合（第1、4、5行）

 

如何利用给定的矩阵求出相应的行的集合呢？我们采用回溯法

 

矩阵1：

 

先假定选择第1行，如下所示：

如上图中所示，红色的那行是选中的一行，这一行中有3个1，分别是第3、5、6列。

由于这3列已经包含了1，故，把这三列往下标示，图中的蓝色部分。蓝色部分包含3个1，分别在2行中，把这2行用紫色标示出来

根据定义，同一列的1只能有1个，故紫色的两行，和红色的一行的1相冲突。

那么在接下来的求解中，红色的部分、蓝色的部分、紫色的部分都不能用了，把这些部分都删除，得到一个新的矩阵

矩阵2：

行分别对应矩阵1中的第2、4、5行

列分别对应矩阵1中的第1、2、4、7列

 

于是问题就转换为一个规模小点的精确覆盖问题

 

在新的矩阵中再选择第1行，如下图所示

还是按照之前的步骤，进行标示。红色、蓝色和紫色的部分又全都删除，导致新的空矩阵产生，而红色的一行中有0（有0就说明这一列没有1覆盖）。说明，第1行选择是错误的

 

那么回到之前，选择第2行，如下图所示

按照之前的步骤，进行标示。把红色、蓝色、紫色部分删除后，得到新的矩阵

矩阵3：

行对应矩阵2中的第3行，矩阵1中的第5行

列对应矩阵2中的第2、4列，矩阵1中的第2、7列

 

由于剩下的矩阵只有1行，且都是1，选择这一行，问题就解决

于是该问题的解就是矩阵1中第1行、矩阵2中的第2行、矩阵3中的第1行。也就是矩阵1中的第1、4、5行

 

在求解这个问题的过程中，我们第1步选择第1行是正确的，但是不是每个题目第1步选择都是正确的，如果选择第1行无法求解出结果出来，那么就要推倒之前的选择，从选择第2行开始，以此类推

 

从上面的求解过程来看，实际上求解过程可以如下表示

1、从矩阵中选择一行

2、根据定义，标示矩阵中其他行的元素

3、删除相关行和列的元素，得到新矩阵

4、如果新矩阵是空矩阵，并且之前的一行都是1，那么求解结束，跳转到6；新矩阵不是空矩阵，继续求解，跳转到1；新矩阵是空矩阵，之前的一行中有0，跳转到5

5、说明之前的选择有误，回溯到之前的一个矩阵，跳转到1；如果没有矩阵可以回溯，说明该问题无解，跳转到7

6、求解结束，把结果输出

7、求解结束，输出无解消息

 

从如上的求解流程来看，在求解的过程中有大量的缓存矩阵和回溯矩阵的过程。而如何缓存矩阵以及相关的数据（保证后面的回溯能正确恢复数据），也是一个比较头疼的问题（并不是无法解决）。以及在输出结果的时候，如何输出正确的结果（把每一步的选择转换为初始矩阵相应的行）。

 

于是算法大师Donald E.Knuth（《计算机程序设计艺术》的作者）出面解决了这个方面的难题。他提出了DLX（Dancing Links X）算法。实际上，他把上面求解的过程称为X算法，而他提出的舞蹈链（Dancing Links）实际上并不是一种算法，而是一种数据结构。一种非常巧妙的数据结构，他的数据结构在缓存和回溯的过程中效率惊人，不需要额外的空间，以及近乎线性的时间。而在整个求解过程中，指针在数据之间跳跃着，就像精巧设计的舞蹈一样，故Donald E.Knuth把它称为Dancing Links（中文译名舞蹈链）。

 

Dancing Links的核心是基于双向链的方便操作（移除、恢复加入）

我们用例子来说明

假设双向链的三个连续的元素，A1、A2、A3，每个元素有两个分量Left和Right，分别指向左边和右边的元素。由定义可知

A1.Right=A2，A2.Right=A3

A2.Left=A1，A3.Left=A2

在这个双向链中，可以由任一个元素得到其他两个元素，A1.Right.Right=A3，A3.Left.Left=A1等等

 

现在把A2这个元素从双向链中移除（不是删除）出去，那么执行下面的操作就可以了

A1.Right=A3，A3.Left=A1

那么就直接连接起A1和A3。A2从双向链中移除出去了。但仅仅是从双向链中移除了，A2这个实体还在，并没有删除。只是在双向链中遍历的话，遍历不到A2了。

那么A2这个实体中的两个分量Left和Right指向谁？由于实体还在，而且没有修改A2分量的操作，那么A2的两个分量指向没有发生变化，也就是在移除前的指向。即A2.Left=A1和A2.Right=A3

 

如果此时发现，需要把A2这个元素重新加入到双向链中的原来的位置，也就是A1和A3的中间。由于A2的两个分量没有发生变化，仍然指向A1和A3。那么只要修改A1的Right分量和A3的Left就行了。也就是下面的操作

A1.Right=A2，A3.Left=A2

 

仔细想想，上面两个操作（移除和恢复加入）对应了什么？是不是对应了之前的算法过程中的关键的两步？

移除操作对应着缓存数据、恢复加入操作对应着回溯数据。而美妙的是，这两个操作不再占用新的空间，时间上也是极快速的

 

在很多实际运用中，把双向链的首尾相连，构成循环双向链

 

Dancing Links用的数据结构是交叉十字循环双向链

而Dancing Links中的每个元素不仅是横向循环双向链中的一份子，又是纵向循环双向链的一份子。

因为精确覆盖问题的矩阵往往是稀疏矩阵（矩阵中，0的个数多于1），Dancing Links仅仅记录矩阵中值是1的元素。

 

Dancing Links中的每个元素有6个分量

分别：Left指向左边的元素、Right指向右边的元素、Up指向上边的元素、Down指向下边的元素、Col指向列标元素、Row指示当前元素所在的行

 

Dancing Links还要准备一些辅助元素（为什么需要这些辅助元素？没有太多的道理，大师认为这能解决问题，实际上是解决了问题）

Ans（）：Ans数组，在求解的过程中保留当前的答案，以供最后输出答案用。

Head元素：求解的辅助元素，在求解的过程中，当判断出Head.Right=Head（也可以是Head.Left=Head）时，求解结束，输出答案。Head元素只有两个分量有用。其余的分量对求解没啥用

C元素：辅助元素，称列标元素，每列有一个列标元素。本文开始的题目的列标元素分别是C1、C2、C3、C4、C5、C6、C7。每一列的元素的Col分量都指向所在列的列标元素。列标元素的Col分量指向自己（也可以是没有）。在初始化的状态下，Head.Right=C1、C1.Right=C2、……、C7.Right=Head、Head.Left=C7等等。列标元素的分量Row=0，表示是处在第0行。

 

下图就是根据题目构建好的交叉十字循环双向链（构建的过程后面的详述）

就上图解释一下

每个绿色方块是一个元素，其中Head和C1、C2、……、C7是辅助元素。橙色框中的元素是原矩阵中1的元素，给他们标上号（从1到16）

左侧的红色，标示的是行号，辅助元素所在的行是0行，其余元素所在的行从1到6

每两个元素之间有一个双向箭头连线，表示双向链中相邻两个元素的关系（水平的是左右关系、垂直的是上下关系）

单向的箭头并不是表示单向关系，而因为是循环双向链，左侧的单向箭头和右侧的单向箭头（上边的和下边的）组成了一个双向箭头，例如元素14左侧的单向箭头和元素16右侧的单项箭头组成一个双向箭头，表示14.Left=16、16.Right=14；同理，元素14下边的单项箭头和元素C4上边的单向箭头组成一个双向箭头，表示14.Down=C4、C4.Up=14

 

接下来，利用图来解释Dancing Links是如何求解精确覆盖问题

1、首先判断Head.Right=Head？若是，求解结束，输出解；若不是，求解还没结束，到步骤2（也可以判断Head.Left=Head？）

2、获取Head.Right元素，即元素C1，并标示元素C1（标示元素C1，指的是标示C1、和C1所在列的所有元素、以及该元素所在行的元素，并从双向链中移除这些元素）。如下图中的紫色部分。

如上图可知，行2和行4中的一个必是答案的一部分（其他行中没有元素能覆盖列C1），先假设选择的是行2

 

3、选择行2（在答案栈中压入2），标示该行中的其他元素（元素5和元素6）所在的列首元素，即标示元素C4和标示元素C7，下图中的橙色部分。

注意的是，即使元素5在步骤2中就从双向链中移除，但是元素5的Col分量还是指向元素C4的，这里体现了双向链的强大作用。

 

把上图中的紫色部分和橙色部分移除的话，剩下的绿色部分就如下图所示

一下子空了好多，是不是转换为一个少了很多元素的精确覆盖问题？，利用递归的思想，很快就能写出求解的过程来。我们继续完成求解过程

 

4、获取Head.Right元素，即元素C2，并标示元素C2。如下图中的紫色部分。

如图，列C2只有元素7覆盖，故答案只能选择行3

 

5、选择行3（在答案栈中压入3），标示该行中的其他元素（元素8和元素9）所在的列首元素，即标示元素C3和标示元素C6，下图中的橙色部分。

把上图中的紫色部分和橙色部分移除的话，剩下的绿色部分就如下图所示

 

6、获取Head.Right元素，即元素C5，元素C5中的垂直双向链中没有其他元素，也就是没有元素覆盖列C5。说明当前求解失败。要回溯到之前的分叉选择步骤（步骤2）。那要回标列首元素（把列首元素、所在列的元素，以及对应行其余的元素。并恢复这些元素到双向链中），回标列首元素的顺序是标示元素的顺序的反过来。从前文可知，顺序是回标列首C6、回标列首C3、回标列首C2、回标列首C7、回标列首C4。表面上看起来比较复杂，实际上利用递归，是一件很简单的事。并把答案栈恢复到步骤2（清空的状态）的时候。又回到下图所示

 

7、由于之前选择行2导致无解，因此这次选择行4（再无解就整个问题就无解了）。选择行4（在答案栈中压入4），标示该行中的其他元素（元素11）所在的列首元素，即标示元素C4，下图中的橙色部分。

把上图中的紫色部分和橙色部分移除的话，剩下的绿色部分就如下图所示

 

8、获取Head.Right元素，即元素C2，并标示元素C2。如下图中的紫色部分。

如图，行3和行5都可以选择

 

9、选择行3（在答案栈中压入3），标示该行中的其他元素（元素8和元素9）所在的列首元素，即标示元素C3和标示元素C6，下图中的橙色部分。

把上图中的紫色部分和橙色部分移除的话，剩下的绿色部分就如下图所示

 

14、因为Head.Right=Head。故，整个过程求解结束。输出答案，答案栈中的答案分别是4、5、1。表示该问题的解是第4、5、1行覆盖所有的列。如下图所示（蓝色的部分）

 

从以上的14步来看，可以把Dancing Links的求解过程表述如下

 

1、Dancing函数的入口

2、判断Head.Right=Head？，若是，输出答案，返回True，退出函数。

3、获得Head.Right的元素C

4、标示元素C

5、获得元素C所在列的一个元素

6、标示该元素同行的其余元素所在的列首元素

7、获得一个简化的问题，递归调用Daning函数，若返回的True，则返回True，退出函数。

8、若返回的是False，则回标该元素同行的其余元素所在的列首元素，回标的顺序和之前标示的顺序相反

9、获得元素C所在列的下一个元素，若有，跳转到步骤6

10、若没有，回标元素C，返回False，退出函数。

 

 

 

之前的文章的表述，为了表述简单，采用面向对象的思路，说每个元素有6个分量，分别是Left、Right、Up、Down、Col、Row分量。

但在实际的编码中，用数组也能实现相同的作用。例如：用Left（）表示所有元素的Left分量，Left（1）表示元素1的Left分量

在前文中，元素分为Head元素、列首元素（C1、C2等）、普通元素。在编码中，三种元素统一成一种元素。如上题，0表示Head元素，1表示元素C1、2表示元素C2、……、7表示元素C7，从8开始表示普通元素。这是统一后，编码的简便性。利用数组的下标来表示元素，宛若指针一般。

第二篇：

本文介绍该算法的实际运用，利用舞蹈链（Dancing Links）算法求解数独

 

在前文中可知，舞蹈链（Dancing Links）算法在求解精确覆盖问题时效率惊人。

那利用舞蹈链（Dancing Links）算法求解数独问题，实际上就是下面一个流程

1、把数独问题转换为精确覆盖问题

2、设计出数据矩阵

3、用舞蹈链（Dancing Links）算法求解该精确覆盖问题

4、把该精确覆盖问题的解转换为数独的解

 

首先看看数独问题（9*9的方格）的规则

1、每个格子只能填一个数字

2、每行每个数字只能填一遍

3、每列每个数字只能填一遍

4、每宫每个数字只能填一遍（宫的概念，参看“算法实践——数独的基本解法”）

 

那现在就是利用这个规则把数独问题转换为精确覆盖问题

可是，直观上面的规则，发现比较难以转换为精确覆盖问题。因此，把上面的表述换个说法

1、每个格子只能填一个数字

2、每行1-9的这9个数字都得填一遍（也就意味着每个数字只能填一遍）

3、每列1-9的这9个数字都得填一遍

4、每宫1-9的这9个数字都得填一遍

 

这样理解的话，数独问题转换为精确覆盖问题就相对简单多了。关键就是如何构造精确覆盖问题中的矩阵

 

我们把矩阵的每个列都定义成一个约束条件。

 

第1列定义成：（1，1）填了一个数字

第2列定义成：（1，2）填了一个数字

……

第9列定义成：（1，9）填了一个数字

第10列定义成：（2，1）填了一个数字

……

第18列定义成：（2，9）填了一个数字

……

第81列定义成：（9，9）填了一个数字

至此，用第1-81列完成了约束条件1：每个格子只能填一个数字

第N列（1≤N≤81）定义成：（X，Y）填了一个数字。

N、X、Y之间的关系是：X=INT（（N-1）/9）+1；Y=（（N-1） Mod 9）+1；N=（X-1）×9+Y

 

 

第82列定义成：在第1行填了数字1

第83列定义成：在第1行填了数字2

……

第90列定义成：在第1行填了数字9

第91列定义成：在第2行填了数字1

……

第99列定义成：在第2行填了数字9

……

第162列定义成：在第9行填了数字9

至此，用第82-162列（共81列）完成了约束条件2：每行1-9的这9个数字都得填一遍

第N列（82≤N≤162）定义成：在第X行填了数字Y。

N、X、Y之间的关系是：X=INT（（N-81-1）/9）+1；Y=（（N-81-1） Mod 9）+1；N=（X-1）×9+Y+81

 

 

第163列定义成：在第1列填了数字1

第164列定义成：在第1列填了数字2

……

第171列定义成：在第1列填了数字9

第172列定义成：在第2列填了数字1

……

第180列定义成：在第2列填了数字9

……

第243列定义成：在第9列填了数字9

至此，用第163-243列（共81列）完成了约束条件3：每列1-9的这9个数字都得填一遍

第N列（163≤N≤243）定义成：在第X列填了数字Y。

N、X、Y之间的关系是：X=INT（（N-162-1）/9）+1；Y=（（N-162-1） Mod 9）+1；N=（X-1）×9+Y+162

 

 

第244列定义成：在第1宫填了数字1

第245列定义成：在第1宫填了数字2

……

第252列定义成：在第1宫填了数字9

第253列定义成：在第2宫填了数字1

……

第261列定义成：在第2宫填了数字9

……

第324列定义成：在第9宫填了数字9

至此，用第244-324列（共81列）完成了约束条件4：每宫1-9的这9个数字都得填一遍

第N列（244≤N≤324）定义成：在第X宫填了数字Y。

N、X、Y之间的关系是：X=INT（（N-243-1）/9）+1；Y=（（N-243-1） Mod 9）+1；N=（X-1）×9+Y+243

 

至此，用了324列完成了数独的四个约束条件，矩阵的列定义完成

那接下来，就是把数独转换为矩阵

数独问题中，每个格子分两种情况。有数字的格子、没数字的格子。

 

有数字的格子

以例子来说明，在（4，2）中填的是7

把（4，2）中填的是7，解释成4个约束条件

1、在（4，2）中填了一个数字。

2、在第4行填了数字7

3、在第2列填了数字7

4、在第4宫填了数字7（坐标（X，Y）到宫N的公式为：N=INT（（X-1）/3）×3+INT（（Y-1）/3）+1）

 

那么这4个条件，分别转换成矩阵对应的列为

1、在（4，2）中填了一个数字。对应的列N=（4-1）×9+2=29

2、在第4行填了数字7。对应的列N=（4-1）×9+7+81=115

3、在第2列填了数字7。对应的列N=（2-1）×9+7+162=178

4、在第4宫填了数字7。对应的列N=（4-1）×9+7+243=277

 

于是，（4，2）中填的是7，转成矩阵的一行就是，第29、115、178、277列是1，其余列是0。把这1行插入到矩阵中去。

 

没数字的格子

还是举例说明，在（5，8）中没有数字

把（5，8）中没有数字转换成

（5，8）中填的是1，转成矩阵的一行就是，第44、118、226、289列是1，其余列是0。

（5，8）中填的是2，转成矩阵的一行就是，第44、119、227、290列是1，其余列是0。

（5，8）中填的是3，转成矩阵的一行就是，第44、120、228、291列是1，其余列是0。

（5，8）中填的是4，转成矩阵的一行就是，第44、121、229、292列是1，其余列是0。

（5，8）中填的是5，转成矩阵的一行就是，第44、122、230、293列是1，其余列是0。

（5，8）中填的是6，转成矩阵的一行就是，第44、123、231、294列是1，其余列是0。

（5，8）中填的是7，转成矩阵的一行就是，第44、124、232、295列是1，其余列是0。

（5，8）中填的是8，转成矩阵的一行就是，第44、125、233、296列是1，其余列是0。

（5，8）中填的是9，转成矩阵的一行就是，第44、126、234、297列是1，其余列是0。

把这9行插入到矩阵中。由于这9行的第44列都是1（不会有其他行的44列会是1），也就是说这9行中必只有1行（有且只有1行）选中（精确覆盖问题的定义，每列只能有1个1），是最后解的一部分。这就保证了最后解在（5，8）中只有1个数字。

 

这样，从数独的格子依次转换成行（1行或者9行）插入到矩阵中。完成了数独问题到精确覆盖问题的转换。