【算法设计与数据结构】拓扑排序算法的实现——Kahn算法及基于dfs的算法

    拓扑排序的定义和原理等我不再赘述，各种教材和网络上都有详细解释，今天我主要谈一谈两种实现拓扑排序的算法。

Kahn算法：

<span style="white-space:pre"></span>将所有入度为0的顶点加入队列q；while（!q.empty() ){u = q.front();q.pop();list.push(u);for (u的每个邻接点v){删除边(u, v)；if (indegree(v) == 0)q.push(v);}}if (图G还有边存在)return 存在环elsereturn list;

    以上这种是比较典型的求拓扑排序的算法，算法复杂度为O(v+e)，常可用来判断该图是否是DAG（有向无环图）
    在算法导论上，介绍的则是另外一种算法，它是基于DFS的，实现十分简单，仅需要在DFS中多加一个语句即可。
    基于DFS的拓扑排序算法（前提：图是DAG）：

L ← 用于存放排序结果的数组S ← 出度为0的顶点的集合for (S中的每个顶点)    dfs(n) void dfs(node n){if (!vis[n]){vis[n] = true;for (每一个顶点m，满足m->n)dfs(m);}        L.push(n);}

    可以看到，我们只是在dfs函数快退出时将结点加入到L中而已。

    （注意，for中的顶点m，满足的是m->n而不是n->m）

    下面简单证明一下它的正确性：
    对任意的边m->n，当调用dfs(n)的时候，有如下两种情况：
    1) dfs(m)还没有被调用，此时会调用dfs(m)，只有dfs(m)返回之后，dfs(n)才会返回

    2) dfs(m)已经被调用过并返回了

    （由于本图是DAG，所以不存在dfs(m)已经被调用，但是在dfs(n)在被调用时还未返回的情况）

    无论是以上哪一种情况，m都会先于n被添加到L中。所以对于任意边m->n，在L中，m总会在n前面。

    本算法的复杂度为O(v+e)，需要注意的一些点是，本算法是建立在图为DAG的基础上的，当然，可以进行一些修改来做环路检测，另外， 本算法的起点是对每个出度为0的顶点进行dfs，而Kahn算法则是从每个入度为0的顶点出发。为何本算法需要从出度为0的顶点出发呢？因为出度为0的顶点必然排在最后面，而最先调用dfs的顶点最后才加入L中。

    对比两种算法，有着异曲同工之妙，一个从入度为0的顶点出发，一个从出度为0的顶点出发；一个对m->n中的每个n进行操作，一个对m->n中的每个m进行操作。

    如果需要判断该图是否为DAG，那么第一种算法是不错的选择，如果已经知道该图为DAG，则第二种算法更加简洁！