数据结构--图的相关操作实现

存储结构

要存储一个图，我们知道图既有结点，又有边，对于有权图来说，每条边上还带有权值。常用的图的存储结构主要有以下二种：

• 邻接矩阵
• 邻接表

邻接矩阵

我们知道，要表示结点，我们可以用一个一维数组来表示，然而对于结点和结点之间的关系，则无法简单地用一维数组来表示了，我们可以用二维数组来表示，也就是一个矩阵形式的表示方法。

我们假设A是这个二维数组，那么A中的一个元素aij不仅体现出了结点vi和结点vj的关系，而且aij的值正可以表示权值的大小。

以下是一个无向图的邻接矩阵表示示例：

从上图我们可以看到，无向图的邻接矩阵是对称矩阵，也一定是对称矩阵。且其左上角到右下角的对角线上值为零（对角线上表示的是相同的结点）

有向图的邻接矩阵是怎样的呢？

对于带权图，aij的值可用来表示权值的大小，上面两张图是不带权的图，因此它们值都是1。

邻接表

我们知道，图的邻接矩阵存储方法用的是一个n*n的矩阵，当这个矩阵是稠密的矩阵（比如说当图是完全图的时候），那么当然选择用邻接矩阵存储方法。
可是如果这个矩阵是一个稀疏的矩阵呢，这个时候邻接表存储结构就是一种更节省空间的存储结构了。
对于上文中的无向图，我们可以用邻接表来表示，如下：

每一个结点后面所接的结点都是它的邻接结点。

邻接矩阵与邻接表的比较

当图中结点数目较小且边较多时，采用邻接矩阵效率更高。
当节点数目远大且边的数目远小于相同结点的完全图的边数时，采用邻接表存储结构更有效率。

遍历

图的遍历，所谓遍历，即是对结点的访问。一个图有那么多个结点，如何遍历这些结点，需要特定策略，一般有两种访问策略：

• 深度优先遍历
• 广度优先遍历

深度优先

深度优先遍历，从初始访问结点出发，我们知道初始访问结点可能有多个邻接结点，深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点。总结起来可以这样说：每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。

我们从这里可以看到，这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。

具体算法表述如下：

1. 访问初始结点v，并标记结点v为已访问。
2. 查找结点v的第一个邻接结点w。
3. 若w存在，则继续执行4，否则算法结束。
4. 若w未被访问，对w进行深度优先遍历递归（即把w当做另一个v，然后进行步骤123）。
5. 查找结点v的w邻接结点的下一个邻接结点，转到步骤3。

例如下图，其深度优先遍历顺序为 1->2->4->8->5->3->6->7

广度优先

类似于一个分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序，以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点。

具体算法表述如下：

1. 访问初始结点v并标记结点v为已访问。
2. 结点v入队列
3. 当队列非空时，继续执行，否则算法结束。
4. 出队列，取得队头结点u。
5. 查找结点u的第一个邻接结点w。
6. 若结点u的邻接结点w不存在，则转到步骤3；否则循环执行以下三个步骤：
   1). 若结点w尚未被访问，则访问结点w并标记为已访问。
   2). 结点w入队列
   3). 查找结点u的继w邻接结点后的下一个邻接结点w，转到步骤6。

如下图，其广度优先算法的遍历顺序为：1->2->3->4->5->6->7->8

Java实现

import java.util.ArrayList;import java.util.LinkedList;/** * @description 邻接矩阵模型类 * @author beanlam * @time 2015.4.17  */public class AMWGraph {    private ArrayList vertexList;//存储点的链表    private int[][] edges;//邻接矩阵，用来存储边    private int numOfEdges;//边的数目    public AMWGraph(int n) {        //初始化矩阵，一维数组，和边的数目        edges=new int[n][n];        vertexList=new ArrayList(n);        numOfEdges=0;    }    //得到结点的个数    public int getNumOfVertex() {        return vertexList.size();    }    //得到边的数目    public int getNumOfEdges() {        return numOfEdges;    }    //返回结点i的数据    public Object getValueByIndex(int i) {        return vertexList.get(i);    }    //返回v1,v2的权值    public int getWeight(int v1,int v2) {        return edges[v1][v2];    }    //插入结点    public void insertVertex(Object vertex) {        vertexList.add(vertexList.size(),vertex);    }    //插入边    public void insertEdge(int v1,int v2,int weight) {        edges[v1][v2]=weight;        numOfEdges++;    }    //删除边    public void deleteEdge(int v1,int v2) {        edges[v1][v2]=0;        numOfEdges--;    }    //得到第一个邻接结点的下标    public int getFirstNeighbor(int index) {        for(int j=0;j<vertexList.size();j++) {            if (edges[index][j]>0) {                return j;            }        }        return -1;    }    //根据前一个邻接结点的下标来取得下一个邻接结点    public int getNextNeighbor(int v1,int v2) {        for (int j=v2+1;j<vertexList.size();j++) {            if (edges[v1][j]>0) {                return j;            }        }        return -1;    }    //私有函数，深度优先遍历    private void depthFirstSearch(boolean[] isVisited,int  i) {        //首先访问该结点，在控制台打印出来        System.out.print(getValueByIndex(i)+"  ");        //置该结点为已访问        isVisited[i]=true;        int w=getFirstNeighbor(i);//        while (w!=-1) {            if (!isVisited[w]) {                depthFirstSearch(isVisited,w);            }            w=getNextNeighbor(i, w);        }    }    //对外公开函数，深度优先遍历，与其同名私有函数属于方法重载    public void depthFirstSearch() {        boolean[] isVisited=new boolean[getNumOfVertex()];        //记录结点是否已经被访问的数组        for (int i=0;i<getNumOfVertex();i++) {            isVisited[i]=false;//把所有节点设置为未访问        }        for(int i=0;i<getNumOfVertex();i++) {            //因为对于非连通图来说，并不是通过一个结点就一定可以遍历所有结点的。            if (!isVisited[i]) {                depthFirstSearch(isVisited,i);            }        }    }    //私有函数，广度优先遍历    private void broadFirstSearch(boolean[] isVisited,int i) {        int u,w;        LinkedList queue=new LinkedList();        //访问结点i        System.out.print(getValueByIndex(i)+"  ");        isVisited[i]=true;        //结点入队列        queue.addlast(i);        while (!queue.isEmpty()) {            u=((Integer)queue.removeFirst()).intValue();            w=getFirstNeighbor(u);            while(w!=-1) {                if(!isVisited[w]) {                        //访问该结点                        System.out.print(getValueByIndex(w)+"  ");                        //标记已被访问                        isVisited[w]=true;                        //入队列                        queue.addLast(w);                }                //寻找下一个邻接结点                w=getNextNeighbor(u, w);            }        }    }    //对外公开函数，广度优先遍历    public void broadFirstSearch() {        boolean[] isVisited=new boolean[getNumOfVertex()];        for (int i=0;i<getNumOfVertex();i++) {            isVisited[i]=false;        }        for(int i=0;i<getNumOfVertex();i++) {            if(!isVisited[i]) {                broadFirstSearch(isVisited, i);            }        }    }}

上面的public声明的depthFirstSearch()和broadFirstSearch()函数，是为了应对当该图是非连通图的情况，如果是非连通图，那么只通过一个结点是无法完全遍历所有结点的。

下面根据上面用来举例的图来构造测试类：

public class TestSearch {    public static void main(String args[]) {        int n=8,e=9;//分别代表结点个数和边的数目        String labels[]={"1","2","3","4","5","6","7","8"};//结点的标识        AMWGraph graph=new AMWGraph(n);        for(String label:labels) {            graph.insertVertex(label);//插入结点        }        //插入九条边        graph.insertEdge(0, 1, 1);        graph.insertEdge(0, 2, 1);        graph.insertEdge(1, 3, 1);        graph.insertEdge(1, 4, 1);        graph.insertEdge(3, 7, 1);        graph.insertEdge(4, 7, 1);        graph.insertEdge(2, 5, 1);        graph.insertEdge(2, 6, 1);        graph.insertEdge(5, 6, 1);        graph.insertEdge(1, 0, 1);        graph.insertEdge(2, 0, 1);        graph.insertEdge(3, 1, 1);        graph.insertEdge(4, 1, 1);        graph.insertEdge(7, 3, 1);        graph.insertEdge(7, 4, 1);        graph.insertEdge(4, 2, 1);        graph.insertEdge(5, 2, 1);        graph.insertEdge(6, 5, 1);        System.out.println("深度优先搜索序列为：");        graph.depthFirstSearch();        System.out.println();        System.out.println("广度优先搜索序列为：");        graph.broadFirstSearch();    }}

运行后控制台输出如下: