根据前中后序和层序重建二叉树(PAT1020、PAT1043)

背景

《二叉树的遍历（递归、非递归）分析》总结了二叉树不同遍历方式的递归和非递归实现，本文则讨论如何针对不同遍历方式的组合重建二叉树。为了简化问题的考虑，假定二叉树中不会出现重复值。列入考虑范围的有前序、中序、后序、层序遍历这四种的组合。前中后序比较常见，而层序则相对特殊一点了。

PAT的1043和1020题是遍历相关的模板题，正好派上用场。

中序+前序

算法描述：

• 初始：用前序遍历序列确定根节点，在中序遍历序列中找到该根节点，则左右子树分别为中序中该节点左右的序列。
• 迭代：对各个子树分别执行三步操作，1.在前序序列中找子树的根节点；2。在中序序列中找子树的根节点，并划分开根节点的左右子树；3.根据新生成的左右子树，在前序序列中划分开这些节点，从而得到了两颗子树的前序、中序序列。

练习：PAT1043:Is It a Binary Search Tree

题意：

输入一个树的前序遍历序列，判定这个树是否是二叉搜索树或者BST的镜像树，如果是，则用后序序列输出。

解题思路：

• 1.BST很特殊，实质上BST的所有节点的顺序排列就是中序遍历了。
• 2.要检查树是否是BST或者镜像BST，只需按照重建树的思路，在每次重建的过程中做适当检查即可。检查思路是：检查前序遍历序列中，根节点之后的节点排序是否符合BST的二分规则（即前一段都是小于根节点的，后一段都是大于根节点的）。
• 3.最后的输出是后序遍历。过程中其实并不用构建整个树，直接在处理过程中，按后序的方式存储节点到队列中即可。

有了这些考虑，就可以写出代码啦。详细解题代码见链接PAT1043

中序+后序

算法描述：

• 初始：用后序遍历序列确定根节点，在中序遍历序列中找到该根节点，则左右子树分别为中序中该节点左右的序列。
• 迭代：对各个子树分别执行三步操作，1.在后序序列中找子树的根节点；2。在中序序列中找子树的根节点，并划分开根节点的左右子树；3.根据新生成的左右子树，在后序序列中划分开这些节点，从而得到了两颗子树的后序、中序序列。

练习：PAT1020:Tree Traversals

题意：

输入为一棵二叉树的后序遍历序列和中序遍历序列。求树的前序遍历序列。

解题思路：

• 1.有了中序和后序，就能重建树。
• 2.最后的输出是前序遍历。过程中其实并不用构建整个树。直接在处理过程中，按前序的方式存储节点到队列中即可。

详细解题代码见链接PAT1020

中序+层序

算法描述：

• 初始：用层序遍历确定顶节点，在中序遍历中，利用顶节点划分出左右子树。
• 迭代：对各个子树分别执行三步操作，1.在层序序列中，找出子树节点集合中，最靠前的节点，这个节点即为子树的顶节点；2.在中序序列中找1中得到的顶节点，并划分开顶节点的左右子树；
• 跟（中序+前序）和（中序+后序）不同之处在于没有迭代的第3步，层序是无法直接划分得到左右子树的节点集合的。但这并不妨碍正常的处理。层序是用来找到子树的顶节点的，而顶节点即是所有子树的节点中，在层序遍历中最靠前的节点。

前序+后序

这个组合是无法重建确定的二叉树的。

对于满二叉树，利用子树节点的排列顺序能区分开左右子树节点集合，构建是没有问题的。但一旦有单个叶子的节点存在，则无法确定叶子是左儿子还是右儿子。因为无论是前序还是后序序列，都无法体现单个儿子情况下，儿子的位置。前序会将左右子树的点置于节点之后，后序则是将左右子树的点置于节点之前。

• 举个简单的反例：

给出如下的前序序列和后序序列： preorder: A, B; postorder: B, A

能构建的二叉树有两种可能，1.A是根节点，B是A左儿子； 2.A是根节点， B是A的右儿子。无法得到一个唯一的结果。

前序+层序

这个组合也是无法重建确定的二叉树的。同样于后序+层序的情况。

道理跟（前序+后序）的道理一样，无论是前序、后序，还是层序，都是无法确定单个儿子节点情况下儿子节点的顺序。

总结

• 中序遍历配合另外任何一个遍历，能重建二叉树。其他的任意两个序列的组合都不能唯一的确定重建的二叉树。