【bzoj2186】【sdoi2008】【沙拉公主的困惑】【数论】

Description

　　大富翁国因为通货膨胀，以及假钞泛滥，政府决定推出一项新的政策：现有钞票编号范围为1到N的阶乘，但是，政府只发行编号与M!互质的钞票。房地产第一大户沙拉公主决定预测一下大富翁国现在所有真钞票的数量。现在，请你帮助沙拉公主解决这个问题，由于可能张数非常大，你只需计算出对R取模后的答案即可。R是一个质数。

Input

第一行为两个整数T，R。R<=10^9+10，T<=10000，表示该组中测试数据数目，R为模后面T行，每行一对整数N，M，见题目描述 m<=n

Output

共T行，对于每一对N，M，输出1至N！中与M！素质的数的数量对R取模后的值

Sample Input

1 11
4 2

Sample Output

1

数据范围：
对于100%的数据，1 < = N , M < = 10000000

HINT

Source

数论

题解：首先有一个性质。如果gcd(a,b)=1则gcd(a+b,b)=1,gcd(a+2*b,b)=1,gcd(a+3*b,b)=1...;

显然m!|n! 所以答案就是phi(m!)*n!/m!;

因为phi(x)=x*(p-1)/p(p是x的质因子)

所以式子可以化成n!*(p-1)/p(p是m!的质因子)

然后预处理一下阶乘。对于每个数的阶乘再预处理一下PI (p-1)/p(p是这个数的质因子) 

因为取模所以需要逆元。可以先把逆元递推的处理出来。

然后怎么递推求逆元呢？

另b[i]表示i在模p意义下的逆元。

设x=p/i, y=p%i;

显然 i*x+y=0 (mod p)

即 -i*x=y(mod p)

然后两边同时除i*y,可得

-x*b[y]=b[i];(mod p)

代入x和y可得

b[i]=(p-p/i)*b[p%i](mod p)

这个式子显然可以递推。

 #include<cstdio>#include<cstring>#include<iostream>#define N 10000000using namespace std;int b[N+7],ji[N+7],p,n,m,t,f[N+7],pp[N+7];bool pr[N+7];void work(){    ji[1]=1;    for(int i=2;i<=N;i++)ji[i]=(long long)ji[i-1]*i%p;    b[1]=1;        for(int i=2;i<=N&&i<p;i++)        b[i]=(p-(long long)p/i*b[p%i]%p);    for(int i=2;i<=N;i++)    {        if(pr[i])pp[++pp[0]]=i;        for(int j=1;pp[j]*i<=N&&j<=pp[0];j++)        {            pr[pp[j]*i]=false;            if(i%pp[j]==0)break;        }    }    f[1]=1;    for(int i=2;i<=N;i++)    {        f[i]=f[i-1];        if(pr[i])f[i]=(long long)f[i]*(i-1)%p*b[i%p]%p;    }}int main(){     memset(pr,true,sizeof(pr));     scanf("%d%d",&t,&p);     work();      for (int i=1;i<=t;i++)     {        scanf("%d%d",&n,&m);        printf("%d\n",(long long)ji[n]*f[m]%p);     }}