星期二男孩问题

先从一个更简单的问题开始，

Boy or Girl Paradox：

一、老王有两个孩子，已知其中一个是男孩，求另一个也是男孩的概率？

二、老王有两个孩子，并非两个都是女孩，则两个都是男孩的概率？

这两个问题其实是同一个问题，但第一个的表述，不要与下面的问题混淆：

三、老王有两个孩子，已知先出生的那个是男孩，求后出生的那个也是个男孩的概率？

无论如何，只要转换成数学语言，一切就豁然开朗：

设随机变量X1、X2分别代表老王的两个孩子先出生和后出生的性别，取值：1--男孩 0--女孩

并假设X1 X2独立同分布，P( X1=1 ) =1/2

一、二的解答：

P( X1=1 ∧ X2=1 | X1=1 V X2=1 ) = P( X1=1 ∧ X2=1 ∧ (X1=1 V X2=1) ) / P(X1=1 V X2=1)  =  P( X1=1 ∧ X2=1 ) / P(X1=1 V X2=1)

= P(X1=1) P(X2=1) / [ P(X1=1) + P(X2=1) - P( X1=1 ∧ X2=1 ) ] = (1/2)(1/2) / [ 1/2 + 1/2 - 1/4 ] = (1/4) / (3/4) = 1/3.

三的解答：

P( X2=1 | X1=1 ) = P( X2=1 ) = 1/2.

加上星期二的条件：

老王有两个孩子，其中一个是星期二出生的男孩，求另一个也是男孩的概率？

呃，加上这个条件有关系吗？

设随机变量X1、X2代表老王的两个孩子的性别，取值：1--男孩 0--女孩

并假设X1 X2独立同分布，P( X1=1 ) =1/2

设随机变量D1、D2代表老王的两个孩子出生的星期：1~7

并假设D1 D2独立同分布，P( D1=1 ) = P( D1=2 ) = ... = P(D1=7) = 1/7 = e.

并且X1、D1、X2、D2相互独立。

P( X1=1∧X2=1∧(D1=2∨D2=2) | (X1=1∧D1=2) ∨ (X2=1∧D2=2) )

= P( X1=1∧X2=1∧(D1=2∨D2=2) ∧ [ (X1=1∧D1=2) ∨ (X2=1∧D2=2) ] ) / P( (X1=1∧D1=2) ∨ (X2=1∧D2=2) )

= P( (X1=1∧X2=1∧D1=2) ∨( X1=1∧X2=1∧D2=2) ) / P( (X1=1∧D1=2) ∨ (X2=1∧D2=2) )

= [(1/4)e+(1/4)e-(1/4)ee] / [ (1/2)e+(1/2)e-(1/4)ee ]

= [ (1/2)e-(1/4)ee ] / [ e--(1/4)ee ]

= (2-e) / (4-e)

把 e=1/7 代入，得 13/27.

老王有两个孩子，其中一个是有三只眼睛的男孩o_O，求另一个也是男孩的概率？

当 e 趋于0时，结果趋于 1/2。

老王有两个孩子，其中一个是有两只眼睛的正常男孩，求另一个也是男孩的概率？

当 e 趋于1时，结果趋于 1/3。

基于样本空间的解释

child1 = Boy1&Tues U Boy1&!Tues U Girl1

child2 = Boy2&Tues U Boy2&!Tues U Girl2

sample space: child1 × child2

The number of samples

<subset of child1, subset of child2>

Boy1&Tues.
X1=1,D1=2
1Boy1&!Tues.
X1=1,D1!=2
6Girl1
X1=0
7Boy2&Tues.
X2=1,D1=2
1<Boy1&Tues , Boy2&Tues>
1<Boy1&!Tues , Boy2&Tues>
6<Girl1 , Boy2&Tues>
7Boy2&!Tues.
X2=1,D1!=2
6<Boy1&Tues , Boy2&!Tues>
6<Boy1&!Tues , Boy2&!Tues>
36<Girl1 , Boy2&!Tues>
42Girl2
X2=0
7<Boy1&Tues , Girl2>
7<Boy1&!Tues , Girl2>
42<Girl1 , Girl2>
49

So, the answer is ( 1+6+6 ) / ( 1+6+7+6+7 ) = 13 / 27.