hdu4081 Qin Shi Huang's National Road System（次小生成树模板）

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题意描述：给定一张图，图的每条边有一个权值ei，每个点有一个权值vi，现在从中选出一些边使图上所有顶点之间联通，然后求其中一条边的的两个顶点的权值之和A/剩余所有边的权值之和B，使这个比值尽可能的大？

解题思路：次小生成树

分析：

1、首先枚举所有边ex，为了使A/B尽量大，我们在A已经确定的基础上使B尽可能小，则需要求包含ex这条边的最小生成树；

2、如果每次都求最小生成树则时间复杂度为e*n*logn,因此我们要做出优化，进行这样的优化：

首先求出这张图的最小生成树，在求解的过程中顺便求出有哪些边在最小生成树中出现进行标记，以及记录最小生成树中任意两点之间的路径中边权值最大的(值时间复杂度为O(n^2))，这样在枚举边ex时（如果这条边在最小生成树中则直接拿最小生成树的权值和减去这条边的权值；否则用最小生成树的权值和减去这条路径上权值最大的值即可），可在O（1）的时间复杂度内求得A/B值；时间复杂度为O（n^2）

代码：

#include <cstdio>#include <cstring>#include <cmath>#include <queue>#define MAXN 1010#define INF 0x7fffffffusing namespace std;struct point{    int x,y,v;}p[MAXN];struct node{    int id;///节点标号    double dis;    node(int _id,double _dis):id(_id),dis(_dis){}    bool operator<(const node& b)const{        return dis>b.dis;///注意    }};int n;double g[MAXN][MAXN];///保存图bool vis[MAXN],used[MAXN][MAXN];///used记录边i->j是否在最小生成树中int pre[MAXN];double Max[MAXN][MAXN],dist[MAXN];///Max记录最小生成树中从i->j的路径上权值最大的边的权值大小priority_queue<node> pq;double Prime(){    double ans=0;    memset(vis,false,sizeof(vis));    memset(used,false,sizeof(used));    memset(Max,0,sizeof(Max));    for(int i=1;i<=n;++i) {dist[i]=INF; pre[i]=-1;}    while(!pq.empty()) pq.pop();    dist[1]=0;    pq.push(node(1,0));    while(!pq.empty()){        node t=pq.top(); pq.pop();        int id=t.id;        if(vis[id]) continue;        vis[id]=true;        ans+=dist[id];        used[id][pre[id]]=used[pre[id]][id]=true;///记录最小生成树中存在哪些边        for(int i=1;i<=n;++i){///注意i!=id.........            if(vis[i]&&i!=id&&pre[id]!=-1) Max[i][id]=Max[id][i]=max(Max[i][pre[id]],dist[id]);            ///pre[id]!=-1是为了除去id=1时pre[1]=-1非法访问数组            ///i!=id防止Max[i][i]被更新，显然Max[i][i]在任何时刻都应该是0，如果Max[i][i]被更新非0，则其他的            ///Max[i][j]会出现问题            if(!vis[i]&&g[id][i]<dist[i]){                dist[i]=g[id][i]; pre[i]=id;                pq.push(node(i,dist[i]));            }        }    }    return ans;}double getdis(point a,point b){    return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));}int main(){    int T;    scanf("%d",&T);    while(T--){        scanf("%d",&n);        for(int i=1;i<=n;++i)            scanf("%d%d%d",&p[i].x,&p[i].y,&p[i].v);        for(int i=1;i<=n;++i) for(int j=i+1;j<=n;++j) g[i][j]=g[j][i]=getdis(p[i],p[j]);        double sum=Prime();        double ans=0;        for(int i=1;i<=n;++i) for(int j=i+1;j<=n;++j){            if(used[i][j]) ans=max(ans,((double)p[i].v+p[j].v)/(sum-g[i][j]));            else ans=max(ans,((double)p[i].v+p[j].v)/(sum-Max[i][j]));        }        printf("%.2lf\n",ans);    }    return 0;}