数据结构与算法—论证任意二叉树度数为2的节点的个数等于叶节点个数减1

对于二叉树来说，节点按度数来分不外乎3种：度数为2的节点、度数为1的节点、叶节点(度数为0的节点)

既然要讨论度数和节点个数的关系。那不妨试试看能否找到总度数和节点总数的关系：

1“度”其实就是1条连接父节点和子节点的直线。如果我们把每1“度”和相应直线对应的子节点联系起来。那么派生出1“度”，就会多出1个节点。思路铺开来想，从根节点开始，到最后树成型。派生出的“度”和派生出的节点数一定相等。那么就得出了总度数和节点总数的关系：

节点总数=总度数+1（整棵树的根节点）

设度数为2的节点数为X2，度数为1的节点数为X1，度数为0的节点数为X0。那么久可以得出如下关系式：

             X2+X1+X0=2X2+X1+1;

推出     X2=X0-1;

也就是我们结论：度数为2的节点个数等于叶节点数减1啦；

另外，顺便记录下另外2个结论：

1. 满二叉树定理：非空满二叉树的叶节点数等于其分支节点数加1。

如果在已知前面论证的结论下来考虑这个定理：由于满二叉树所有分支节点都是度数为2的节点，那么结论自然成立。

如果并不知道上面已经论证的结论也没关系。考虑一棵只有3个节点的满二叉树(1个根节点和两个叶子节点)：此结论满足。从这开始思考。每产生1个分支节点(牢记度数为2)。便会多出1个叶子节点。为什么呢？因为要产生一个分支节点，那么这个新的分支节点必然是原来的叶子节点。而新的分支节点又有2个新的叶子节点。因此叶子节点的总数先是减少1，然后加2。相互抵消自然就是加1了。扩展开来思考，在原来结论的基础上，由于分支节点和叶子节点是等量增长。那么结论自然也还是成立了。

2. 一棵非空二叉树空子树的数目等于其节点数目加1

考虑只有1个根节点的二叉树：它有2个空子树，1个节点。因此结论成立。从这里开始考虑。每产生1个节点。空子树便会先减少1，然后增加2。就和上面结论中每多出1个分支节点，叶子节点的变化一样。因此在原来结论的基础上，由于空子树和节点等量增长。所以结论成立。