Nescafé 41-异化多肽polypeptide

题意：

给出m个氨基酸的质量，不考虑脱水缩合等生物因素；

问拼成质量为n的多肽有多少种方案；

n，m<=100000；

题解：

该来的毒瘤总是要来，所以生成函数啥的引入OI真是太不OI了(笑)；

不过这题还不算虐心。。似乎。。

先上一个生成函数——F(x)表示氨基酸的生成函数，有一种质量为i的氨基酸，x^i前的系数就+1；

那么答案(显然)是F(x)+F^2(x)+F^3(x)+F^4(x)+...+F^∞(x)的n次项系数；

为了一会做着方便，我们再加一个单位多项式1；

系数表达中它除了0次项系数是1以外都是0，点值表达中它无论何时都是常数1；

理解这点之后，我们可以看出加的这个多项式是不影响什么的；

所以原式为1+F(x)+F^2(x)+F^3(x)+F^4(x)+...+F^∞(x)，裸上等比数列求和！

(F^∞(x)-1)/(F(x)-1)；

当F(x)自乘无穷次之后，它的最低项系数也是∞，对于答案也没影响；

所以就是-(F(x)-1)^(-1)；

然后我们对F(x)-1求逆再取相反数，n次项系数就是答案啦！

然并卵，这题难点就是多项式求逆。。。

求逆的做法是倍增，这玩意Po姐的博客也没有讲。。。

具体可以去问候找picks大毒瘤的文章(链接)；

倍增每层调用三次FFT，所以时间复杂度为T(n)=T(n/2)+O(nlogn)=O(nlogn)；

这个复杂度简直毒瘤。。。至于原因再做几道生成函数的题就知道了= =；

代码：

#include<math.h>#include<stdio.h>#include<string.h>#include<algorithm>#define N 262144using namespace std;typedef long long ll;const ll mod=1005060097;ll a[N],b[N];ll pow(ll x,ll y){ll ret=1;while(y){if(y&1)ret=ret*x%mod;x=x*x%mod;y>>=1;}return ret;}void NTT(ll *a,int len,int type){int i,j,t,h;for(i=0,t=0;i<len;i++){if(i>t)swap(a[i],a[t]);for(j=(len>>1);(t^=j)<j;j>>=1);}for(h=2;h<=len;h<<=1){ll wn=pow(5,(mod-1)/h);for(i=0;i<len;i+=h){ll w=1;for(j=0;j<(h>>1);j++,w=w*wn%mod){ll temp=w*a[i+j+(h>>1)]%mod;a[i+j+(h>>1)]=(a[i+j]-temp+mod)%mod;a[i+j]=(a[i+j]+temp)%mod;}}}if(type==-1){for(i=1;i<(len>>1);i++)swap(a[i],a[len-i]);ll inv=pow(len,mod-2);for(i=0;i<len;i++)a[i]=a[i]*inv%mod;}}void inv(ll *a,int len){if(len==1){b[0]=pow(a[0],mod-2);return ;}inv(a,len>>1);static ll temp[N];memcpy(temp,a,sizeof(ll)*(len>>1));NTT(temp,len,1);NTT(b,len,1);for(int i=0;i<len;i++)b[i]=b[i]*(2-temp[i]*b[i]%mod+mod)%mod;NTT(b,len,-1);memset(b+(len>>1),0,sizeof(ll)*(len>>1));}int main(){int n,m,i,j,k,len;scanf("%d%d",&n,&m);for(i=1;i<=m;i++){scanf("%d",&k);if(k<=n)a[k]++;}a[0]=(a[0]-1+mod)%mod;for(i=(1<<30);i;i>>=1)if(n&i){len=(i<<1);break;}len<<=1;inv(a,len);printf("%lld\n",(mod-b[n])%mod);return 0;}