【排序】堆排序法

二叉堆的定义

二叉堆是完全二叉树或者是近似完全二叉树。

二叉堆满足二个特性：

1．父结点的键值总是大于或等于（小于或等于）任何一个子节点的键值。

2．每个结点的左子树和右子树都是一个二叉堆（都是最大堆或最小堆）。

当父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值时为最大堆。当父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值时为最小堆。下图展示一个最小堆：

由于其它几种堆（二项式堆，斐波纳契堆等）用的较少，一般将二叉堆就简称为堆。

堆的存储

一般都用数组来表示堆，i结点的父结点下标就为(i – 1) / 2。它的左右子结点下标分别为2 * i + 1和2 * i + 2。如第0个结点左右子结点下标分别为1和2。

堆的操作——插入删除

堆的插入

每次插入都是将新数据放在数组最后。可以发现从这个新数据的父结点到根结点必然为一个有序的数列，现在的任务是将这个新数据插入到这个有序数据中——这就类似于直接插入排序中将一个数据并入到有序区间中。

//  新加入i结点  其父结点为(i - 1) / 2  void MinHeapFixup(int a[], int i)  {      int j, temp;            temp = a[i];      j = (i - 1) / 2;      //父结点      while (j >= 0 && i != 0)      {          if (a[j] <= temp)              break;                    a[i] = a[j];     //把较大的子结点往下移动,替换它的子结点          i = j;          j = (i - 1) / 2;      }      a[i] = temp;  } 

插入时：

//在最小堆中加入新的数据nNum  void MinHeapAddNumber(int a[], int n, int nNum)  {      a[n] = nNum;      MinHeapFixup(a, n);  } 

堆的删除

按定义，堆中每次都只能删除第0个数据。为了便于重建堆，实际的操作是将最后一个数据的值赋给根结点，然后再从根结点开始进行一次从上向下的调整。调整时先在左右儿子结点中找最小的，如果父结点比这个最小的子结点还小说明不需要调整了，反之将父结点和它交换后再考虑后面的结点。相当于从根结点将一个数据的“下沉”过程。下面给出代码：

//  从i节点开始调整,n为节点总数 从0开始计算 i节点的子节点为 2*i+1, 2*i+2  void MinHeapFixdown(int a[], int i, int n)  {      int j, temp;        temp = a[i];      j = 2 * i + 1;      while (j < n)      {          if (j + 1 < n && a[j + 1] < a[j]) //在左右孩子中找最小的              j++;            if (a[j] >= temp)              break;            a[i] = a[j];     //把较小的子结点往上移动,替换它的父结点          i = j;          j = 2 * i + 1;      }      a[i] = temp;  }  //在最小堆中删除数  void MinHeapDeleteNumber(int a[], int n)  {      Swap(a[0], a[n - 1]);      MinHeapFixdown(a, 0, n - 1);  }  

堆化数组

有了堆的插入和删除后，再考虑下如何对一个数据进行堆化操作。要一个一个的从数组中取出数据来建立堆吧，不用！先看一个数组，如下图：

很明显，对叶子结点来说，可以认为它已经是一个合法的堆了即20，60， 65， 4， 49都分别是一个合法的堆。只要从A[4]=50开始向下调整就可以了。然后再取A[3]=30，A[2] = 17，A[1] = 12，A[0] = 9分别作一次向下调整操作就可以了。下图展示了这些步骤：

//建立最小堆  void MakeMinHeap(int a[], int n)  {      for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--)          MinHeapFixdown(a, i, n);  }  

至此，堆的操作就全部完成了(注1)，再来看下如何用堆这种数据结构来进行排序。

堆排序

首先可以看到堆建好之后堆中第0个数据是堆中最小的数据。取出这个数据再执行下堆的删除操作。这样堆中第0个数据又是堆中最小的数据，重复上述步骤直至堆中只有一个数据时就直接取出这个数据。

由于堆也是用数组模拟的，故堆化数组后，第一次将A[0]与A[n - 1]交换，再对A[0…n-2]重新恢复堆。第二次将A[0]与A[n – 2]交换，再对A[0…n - 3]重新恢复堆，重复这样的操作直到A[0]与A[1]交换。由于每次都是将最小的数据并入到后面的有序区间，故操作完成后整个数组就有序了。有点类似于直接选择排序。

void MinheapsortTodescendarray(int a[], int n)  {      for (int i = n - 1; i >= 1; i--)      {          Swap(a[i], a[0]);          MinHeapFixdown(a, 0, i);      }  } 

注意使用最小堆排序后是递减数组，要得到递增数组，可以使用最大堆。

由于每次重新恢复堆的时间复杂度为O(logN)，共N - 1次重新恢复堆操作，再加上前面建立堆时N / 2次向下调整，每次调整时间复杂度也为O(logN)。二次操作时间相加还是O(N * logN)。故堆排序的时间复杂度为O(N * logN)。

完整代码：

#include <iostream>using namespace std;  //堆调整，构建大顶堆，arr[]是待调整的数组  //i是待调整的数组元素的位置[节点？]，length是数组的长度  void HeapAdjust(int arr[], int i, int length)  {      int Child;      int temp;      for(;2 * i + 1 < length; i = Child)      {          //子节点的位置 = 2 * (parent(父结点)) + 1          Child = 2 * i + 1;          //得到子结点中较大的结点          if(Child < length - 1 && arr[Child + 1] > arr[Child])                  ++Child;          //如果较大的子结点大于父结点那么把较大的子结点往上移动          //替换它的父结点          if(arr[i] < arr[Child])          {              temp = arr[i];              arr[i] = arr[Child];              arr[Child] = temp;          }          else                  break;      }  }  //堆排序算法  void HeapSort(int arr[], int length)  {      int i;      //调整序列的前半部分元素，调整完之后第一个元素      //是序列的最大元素，length/2-1是最后一个非叶子结点      for(i = length/2 - 1; i >= 0; --i)              HeapAdjust(arr, i, length);      //从最后一个元素开始对序列进行调整，不断的缩小调整      //的范围直到第一个元素      //循环里是把第一个元素和当前的最后一个元素交换      //保证当前的最后一个位置的元素是现在这个序列的最大的      //不断的缩小调整heap的范围，每一次调整完毕保证第一个      //元素是当前序列的最大的元素      for(i = length - 1; i > 0; --i)      {          arr[i] = arr[0]^arr[i];          arr[0] = arr[0]^arr[i];          arr[i] = arr[0]^arr[i];          HeapAdjust(arr, 0, i);                      //递归调整      }  }    int main()  {      int i;      int num[] = {98, 48, 777, 63, 57, 433, 23, 1112, 1};          cout<<"==================堆排序=============="<<endl;      cout<<"实质上是一颗完全二叉树，利用树的根结点"<<endl;cout<<"与子节点的性质进行排序"<<endl;      cout<<"==================堆排序=============="<<endl;       cout<<"待排序的数据是："<<endl;      for(i = 0; i < sizeof(num)/sizeof(int); i++)      {         cout<<num[i]<<endl;      }  cout<<endl;     HeapSort(num, sizeof(num)/sizeof(int));      cout<<"排序后的数据是："<<endl;      for(i = 0; i < sizeof(num)/sizeof(int); i++)      {          cout<<num[i]<<" ";      }      cout<<endl;    return 0;  } 

运行结果：