BZOJ 3625 [Codeforces Round #250]小朋友和二叉树 多项式开根

题意:链接

方法:多项式开根

解析:

首先先搞出来C(x)->即C的生成函数。

然后推一下式子嘛

选或者不选，选的话是一个递归，不选是1。

设F(x)为权值的生成函数。

即F(x)=C(x)∗F2(x)+1

然后搞一下。

F(x)=1±1−4∗C(x)√2∗C(x)

多项式求逆的条件是常数项有逆。

所以那个加减我们就只能取减号而不能取加号

然后乘以个共轭根式。

F(x)=21+1−4∗C(x)√

现在考虑开根怎么求吧。

假设G2(x)=F(x)(mod xn)

我们要求H2(x)=F(x)(mod x2n)

(G2(x)−F(x))2=0(mod x2n)

(G2(x)+F(x))2=4∗G2(x)∗F(x)(mod x2n)

(G2(x)+F(x)2∗G(X))2=F(x)(mod x2n)

故H(x)=2−1∗G(x)+2−1∗G−1(x)∗F(x)

求逆O(nlogn)相乘O(nlogn)

所以总复杂度T(n)=T(n/2)+O(nlogn)=O(nlogn).

代码:

#include <cstdio>#include <cstring>#include <cstdlib>#include <iomanip>#include <iostream>#include <algorithm>#define N 262144#define mod 998244353using namespace std;typedef int ll;int n,m;ll c[N],Inv2,root_c[N],inv_root_c[N];int rev[N];long long Quick_Power(long long x,ll y,ll MOD){    long long ret=1;    while(y)    {        if(y&1)ret=(ret*x)%MOD;        x=(x*x)%MOD;        y>>=1;    }    return ret;}void NTT(ll *a,int n,int f){    for(int i=0;i<n;i++)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);    for(int h=2;h<=n;h<<=1)    {        ll wn=Quick_Power(3,(mod-1)/h,mod);        for(int i=0;i<n;i+=h)        {            ll w=1;            for(int j=0;j<(h>>1);j++,w=(long long)w*wn%mod)            {                ll t=(long long)a[i+j+(h>>1)]*w%mod;                a[i+j+(h>>1)]=((a[i+j]-t)%mod+mod)%mod;                a[i+j]=(a[i+j]+t)%mod;            }        }    }    if(f==-1)    {        for(int i=1;i<(n>>1);i++)swap(a[i],a[n-i]);        ll inv=Quick_Power(n,mod-2,mod);        for(int i=0;i<n;i++)a[i]=(long long)a[i]*inv%mod;    }}void Get_Inv(ll *a,ll *b,int n){    static ll temp[N];    if(n==1)    {        b[0]=Quick_Power(a[0],mod-2,mod);        return;    }    Get_Inv(a,b,n>>1);    memcpy(temp,a,sizeof(a[0])*n);    memset(temp+n,0,sizeof(a[0])*n);     int m=n,L=0,nn=n;    for(n=1;n<=m;n<<=1)L++;    for(int i=0;i<n;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));    NTT(temp,n,1),NTT(b,n,1);    for(int i=0;i<n;i++)        temp[i]=(long long)b[i]*(((2ll-(long long)temp[i]*b[i]%mod)%mod+mod)%mod)%mod;    NTT(temp,n,-1);    for(int i=0;i<(n>>1);i++)b[i]=temp[i];    memset(b+nn,0,sizeof(b[0])*nn);    n=nn;}void Get_Root(ll *a,ll *b,int n){    static ll temp[N],inv_b[N];    if(n==1)    {        b[0]=1;        return;    }    Get_Root(a,b,n>>1);    memset(inv_b,0,sizeof(a[0])*n);    Get_Inv(b,inv_b,n);    memcpy(temp,a,sizeof(a[0])*n);    memset(temp+n,0,sizeof(a[0])*n);    int m=n,L=0,nn=n;    for(n=1;n<=m;n<<=1)L++;    for(int i=0;i<n;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));    NTT(temp,n,1),NTT(b,n,1),NTT(inv_b,n,1);    for(int i=0;i<n;i++)        temp[i]=(long long)Inv2*((b[i]+(long long)inv_b[i]*temp[i]%mod)%mod)%mod;    NTT(temp,n,-1);    for(int i=0;i<(n>>1);i++)b[i]=temp[i];    memset(b+nn,0,sizeof(b[0])*nn);    n=nn;}int main(){    scanf("%d%d",&n,&m);    for(int i=1;i<=n;i++)    {        ll x;        scanf("%d",&x);        c[x]++;    }    Inv2=Quick_Power(2,mod-2,mod);    c[0]=((1-c[0])%mod+mod)%mod;    for(int i=1;i<=100000;i++)        c[i]=((-4*c[i])%mod+mod)%mod;    int l;    for(l=1;l<=m;l<<=1);    Get_Root(c,root_c,l);    root_c[0]=(1+root_c[0])%mod;    Get_Inv(root_c,inv_root_c,l);    for(int i=0;i<=100000;i++)        inv_root_c[i]=((long long)2*inv_root_c[i])%mod;    for(int i=1;i<=m;i++)        printf("%d\n",inv_root_c[i]);}