Generate Parentheses

Given n pairs of parentheses, write a function to generate all combinations of well-formed parentheses.

For example, given n = 3, a solution set is:

"((()))", "(()())", "(())()", "()(())", "()()()"

考察的问题有关组合数学的卡特兰数。

具体编程实现的话，则可以用二叉树的形式递归实现。因为在字符串中的每一个位置，要么填入‘（ ’，要么填入‘ ）’，整个问题的解空间便是一棵二叉树形式。而在每个节点处，只需加上判断能否放入左括号和右括号的条件即可。

再来看每个节点处的条件判断。实际上，左括号可以不加判断的填入当前位置，只要还剩余左括号没有用上。而对于右括号，当且仅当当前已填入的括号中，左括号的个数大于右括号的个数，才能在当前位置填入右括号。至于这个性质的证明，大家有兴趣可以证明一下。

于是采用递归的方法求解，使用left和right两个变量分别记录当前还剩下未用的左括号和右括号个数。

代码实现如下：

void recurGenPar(int left, int right, int i, int *retSize, char **retArr, char *temp){if(left > 0){temp[i] = '(';recurGenPar(left - 1, right, i + 1, retSize, retArr, temp);}if(left < right){temp[i] = ')';recurGenPar(left, right - 1, i + 1, retSize, retArr, temp);}if(left == 0 && right == 0){temp[i] = '\0';retArr[*retSize] = (char *)malloc(sizeof(char) * (i + 1));strcpy(retArr[(*retSize)++], temp);}}char** generateParenthesis(int n, int* returnSize) {if(n == 0){*returnSize = 0;return NULL;}char **retArr = (char **)malloc(sizeof(char *) * 10000);int retSize = 0;int left = n, right = n;char temp[2 * n + 1];recurGenPar(n, n, 0, &retSize, retArr, temp);*returnSize = retSize;return retArr;}