矩阵的特征向量与特征值的几何意义
来源:互联网 发布:python 2.6 2.7 区别 编辑:程序博客网 时间:2024/04/29 22:56
我们都知道说到矩阵的特征向量和特征值的时候,都会提到Ax=λx这个式子,也就是众所周知的特征值方程。下面就从这里展开,来解释一下特征向量和特征值的几何意义。
首先允许我介绍一下特征值方程(Ap=λp为了后面表述的更好理解一些,暂且使用p吧)中的各项:
A是一个矩阵,也可以说是一个变换阵;
p是一个向量(暂且说成是一个吧),比如说是二维空间的一个向量p,其坐标为(x,y);
λ是一个标量,暂且理解为一个实数好了。
接下来,分析他们之间的关系:
Ap=λp的几何意义就是p这个向量通过A这个变换阵将其变为了λp(p向量乘了一个λ标量,依然是一个向量)这个向量;并且由于λ是标量,故作此变换之后并没有改变原来p向量的方向,只是在p向量原来的方向上对其拉伸了λ倍。注意,此时我们的关注的焦点是p向量。
若我们转移我们所关注的焦点到A身上,从而也可以理解为p这个向量是对于A矩阵的一个很特别的向量(因为它可以限制A只能对它作拉伸变换,而不能对它作旋转变换,这个特性是相当有价值的),这里先称其为A的特征向量,至于为什么可以称为特征向量,后面慢慢的说明。
我们知道在Ap=λp中,存在的特征值不一定只有一个,并且用特征值和特征向量就可以唯一的表达出对应的矩阵,比如此例中若是存在两个特征值λ1和λ2,那么,A=λ1* p1+λ2* p2,其中p1、p2是对应的特征向量;前面说过矩阵可以称为变换阵,也就是说它可以将一个向量做拉伸或者旋转变换或者两种变换同时完成。
下面用几个图来说明一下:
矩阵A对向量n变换之后
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- 矩阵的特征向量与特征值的几何意义
- 特征值与特征向量的几何物理意义
- 特征值与特征向量的几何意义
- 特征值与特征向量的几何物理意义
- 特征值与特征向量的意义
- 特征向量和特征值的几何意义
- 特征向量和特征值的几何意义
- 特征向量和特征值的几何意义
- 特征向量及特征值的几何意义
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