【斯坦福---机器学习】复习笔记之特征选择

本讲大纲：

1.VC维（VC dimension）
2.模型选择（model selection）
—交叉验证（cross validation）
—特征选择（feature selection）

1.VC维

给定猜想类，定义VC维（Vapnik-Chervonenkis dimension），记作VC(H)，表示能够被分开的最大集合的尺寸（如果能够分开任意大的集合，那么）.

例如，考虑下面几个的三个点：

在二维中线性分类器能够把它们分开吗（）？显然是可以的. 事实上，任意这些点可能的八种标签情况，我们都能找到“零训练误差”的线性分类器.

但是，这个猜想不能分开四个点的集合，因此VC（H）=3.
注意，即使可能有大小为3的集合不能被分开，VC维依然为3. 例如，三个点在同一条线上时（左图），那么没有办法找到线性分隔器（右图）.

在VC维的定义下，为了证明ＶＣ（Ｈ）至少是ｄ，我们要证明Ｈ能分开至少一个大小为ｄ的集合．

（在学习理论中最重要的定理！）

定理：假设有，并且，那么至少有概率为，对所有的，有

因此，

换句话来说，如果猜想有有限的VC维，当ｍ足够大时会有一致收敛性．　跟之前一样，我们可以以
的形式给出的边界．

推论：对所有的保持至少的概率，满足
换句话说，用训练好的训练样本数量和VC维是线性的．结果表明，对大部分的猜想类，ｖｃ维（假设合理的参数化）和参数的数量大致也是线性相关的．把这两个放到一起，可以说（对于最小化训练误差的算法来说）需要的训练样本的数量大致和参数的类型是线性的．


２.模型选择

假设我们有一个有限的模型集合，我们要从这些模型中做出选择，例如我们要从SVM，神经网络或者是逻辑回归中做出选择，那么我们的模型集合就要包含这些模型．

交叉验证
假设有训练集Ｓ，根据经验风险最小化的知识，我们可能会想到通过ＥＲＭ来进行模型选择：
１．在训练集Ｓ上训练每个模型Ｍｉ，得到猜想ｈｉ；
２．选择训练误差最小的猜想

但是这个算法是不行的．比如选择多项式的次数，次数越高的多项式，对数据集的拟合程度越好，训练误差也越小，因此这个方法选择的是高方差，高次的多项式模型，显然是一个很糟糕的模型．

保留交叉验证（hold－ｏｕｔ　cross　validation），也称为simple　cross　validation．
１.随机把训练集Ｓ分成两个子集，（７０％）和（３０％）．称为保留交叉验证集．
2.用训练每个模型，得到猜想hi.
3.选择在交叉验证集中有最小错误的猜想.

通过在没有训练的交叉验证集测试，对每个猜想的真实泛化误差有了一个更好的估计，并且能够选择最小泛化误差的猜想. 一般来说，1/4-1/3的数据是用来做交叉验证的，30%是一个典型的选择.
视情况而定，第三步也可以替换成通过选择模型Mi，然后用整个训练集训练Mi（一般情况下，这个效果是不错的，但是如果模型对数据敏感就不行了.）

交叉验证的缺点是浪费了30%的数据，即使我们最后用整个训练集去训练模型. 在数据充足并且很容易获得的情况下，这是好的，但是如果数据是很稀少的，我们需要采用另外一种方式了.

k-fold交叉验证（k-fold cross validation）
1.随机把S分成k个子集，每个有m/k个训练样本，为S1,…,Sk;
2.对每个模型，我们这样评价：

3.选择具有最低估计泛化误差的模型，并且用整个数据集对模型进行训练，最后输出的猜想就是我们的答
案.

一个对fold典型的选择是k=10.

留一交叉验证（leave-one-out cross validation）
当数据非常稀有时，极端的选择是把k=m，为了尽可能使留下来的数据少，这种情况下我们会用除了一个之外的数据集进行训练，剩下的用来测试，k个错误的平均值用来作为模型的估计泛化误差.

即使这在边说的是交叉验证用来进行模型选择，但是只有单个模型时也可以用来评价模型的好坏.

特征选择
有的时候，特征的数量是非常大的，但是可能只是很小一部分的特征跟学习任务是有关系的. 这个时候就需要特征选择算法减少特征的数量. 给定n个特征，有种子集可能的选择，枚举所有的可能性代价太大，一般是要采用启发式搜索（heuristic search）.
下面的搜索程序叫向前搜索（forward search）:

外层循环当特征数等于n或者达到预先设定的阈值时终止.

上面描述的算法叫做包装模型特征选择(wrapper model feature selection).

除了向前搜索，还有向后搜索(backward search):
开始，然后每次循环删除一个特征直到

包装特征选择算法经常效果很好，但是需要多次调用学习算法，计算的代价很大.

过滤特征选择（Filter feature selection)是启发式搜索，但是计算的代价小得多.
思想是计算根据每个特征对标签y的贡献得到一个分数，然后选择k个最大分数的特征.
可以根据xi和y的相关性计算分数. 但是在现实中，一个比较常见的做法是（尤其对于离散特征）选择S(i)为xi和y的**互信息（mutual information）**MI(xi,y):

(上面的等式假设可x和y是二元值，但是更常见的是在变量的定义域内)
mutual information也可以表示为Kullback-Leibler (KL) divergence:

如果xi和y是相互独立的随机变量，两个变量的分布的KL-divergence为0.

最后一个问题，根据分数选出k个特征，但是这个k是则呢确定的？一个标准的方式是用交叉验证去选择可能的k.