图像局部特征学习（笔记1之Harris角点）

角点：有两种比较普遍的定义

1. 角点是两个边缘的交点
2. 角点是邻域内具有两个主方向的特征点（这个主方向，其实我一直是迷糊，但是参考PCA，觉得其想说的是在在两个方向上灰度变化比较大，也就是此时的角点邻域内的点，不再是一个二维的点（x,y），而是一个三维的点（x,y,I）其中I是像素位置（x,y）对应的灰度值。当存在两个主方向时，也就意味着存在两个较大的特征值。）

角点检测的主要思路：

1. 第一种基于图像边缘的方法，对应角点定义1，检测出边缘也便检测出角点。但是这种方法很依赖于图像边缘的检测结果，但是我们知道边缘检测是一个比较麻烦，复杂的问题。
2. 第二种是基于图像灰度的方法，该方法主要通过计算点的曲率以及梯度来检测角点，这类方法中比较有代表性的有：Moravec,Forstner,Harris,SUSAN.

Harris角点检测：

下图可以很明了的说明Harris角点检测的原理：

简单介绍就是，设置一个固定尺寸的小窗口，移动窗口。统计移动前后窗口内的像素变化情况，来进行角点的判断。写成数学表达式就是：

其中的权重因子w(u,v)可以是常数也可以是高斯加权函数：

对上式进行泰勒级数的一阶展开，化简可以得到下式：

其中：

正如角点的第二种定义，角点是其邻域内的灰度在两个方向有较大的变化，对应存在两个较大的特征值；而边缘时邻域内的灰度在某一个方向有较大的变化，对应存在一个较大的特征值；平面就是在邻域内的灰度变化不大，存在两个较小的特征值；下图描述了特征值与检测结果的关系：

但是在求解矩阵M的特征值的时候，计算量比较大，比较耗时，因为我们一般不直接计算其特征。利用如下公式间接比较其特征的大小关系，进行角点判断：


然后令λ1=λ，λ2=kλ1，其中（λ1>=λ2，故k<=1）

假设R>0，就有（高中数学中的对勾函数的极值问题，或者直接求导）：

故调节α就可以设置k的数值范围：

当α增大至0.25时，k就只能取1了；当α减小至0时，k的取值就是（0，1）了，也就是α值增大，k的取值区间减小，那么检测到的角点就变少，也就是检测灵敏性降低（但是更加准确）；α值减小，k的取值区间增大，那么检测到的角点就变多，也就是检测灵敏性增加（但是会带来误检测）