数学分析原理-第1章 实数系和复数系

导引

1.1Example后面证明A没有最大值，B没有最小值是这样构建的

q=p−p2−2p+2=2p+1p+2

巧妙的构造

有序集

1.10中least-upper-bound property的定义考虑实数集是满足的，有理数集则不满足
1.11Theorem的证明比较难理解，首先证明α存在，然后由于α∈L（α为下界）并且β∉L如果β>α（α为下确界），证明完成

实数域

1.20定理：每两个实数之间必然有一个有理数
对于x,y，存在n满足n(y−x)>1
存在m满足m−1<=nx<m
所以nx<m<=1+nx<ny
得出x<m/n<y
1.21定理证明过程中为了得出yn<x不成立，需要找到h>0，使得(y+h)n<x，h的选择可以逆向得出:

(y+h)n−yn<x−yn

(y+h)n−yn<hn(y+h)n−1

对于yn>0不成立的证明类似

广义实数域

广义实数域不构成域，因为+∞+(−∞)没有定义

复数域

复数域的定义为定义了加法和乘法的有序实数对，与通常数学书上说的通过-1的平方根定义不太一样，虽然是同一个东西。

练习

自己的理解，可能有误
1
x=(r+x)-r，如果r+x为有理数，则x为有理数，矛盾
如果rx=a/b, r=c/d，则x=ad/bc，为有理数，矛盾
2
2的平方根不是有理数的证明中，把其中2替换为3
4
对于E中的任意元素x满足α≤x≤β
5
根据定理1.9，存在α=infA，α≤x，故−α≥−x，−α为-A的上界，如果−α>−y，则y>α，所以y不是A的下确界，A中存在z满足α≤z<y，所以-A中存在-z满足-z>-y，由于y是任意选择的，所以比−α小的任意数都不是-A的上界，证明完成
6(a)
令m/n=p/q=e/f,e/f为既约分数，m=x1e,n=x1f,p=x2e,q=x2f
令a=(bm)1n,c=(bp)1q,g=(be)1f
gf=be
an=bm,ax1f=bx1e=gfx1
cq=bp,cx2f=bx2e=gfx2
得出a=c=bef=br
(b)r=m/n,s=p/q
br+s=b(mq+pn)/(nq)=(b(mq+pn))1/(nq)
根据定理1.21的推论得到br+s=bmnbpq
(c)
如果m/n<p/q，则根据前面有理数幂的定义，有(amn)nq<(apq)nq，所以如果r是有理数br=supB(r)
定义实数幂为bx=supB(x)
(d)
bx+y=sup{bt,t<x+y}=sup{bt1+t2,t1<x,t2<y}=bxby
7
(a)
bn−1=(b−1)(bn−1+...+1)≥n(b−1)
(c)
n(t−1)>(b−1)≥n(b1/n−1)所以t>b1/n
(d)
说明supA≥y
(e)
说明supA≤y
8
有序域的第一个条件应该可以满足，但是第二个条件由于i2=−1不能满足，因为实部运算同号不变(正正的正)，虚部同号运算变号(正正得负)
9
证明有序集根据定义容易得出
在扩展的复数域有最小上界属性
10显然z和-z满足条件
12归纳法
16
设x和y的中点为a，则xza和yza为全等三角形对于k≥3，如果2r>d，显然可以取到无数个z!=a的点，2r=d则z=a，2r<d则取不到
k=2的情况，2r>d有2个点，2r=d有1个点，2r<d没有
k=1的情况，2r=d有1个点，否则没有
17
平行四边形定理
18k=1即使实数，显然不成立。对于k>1，对于任意x，可以这样选择y：前k-1维任意选择，最后一维选择使得x*y=0
19
<x−a,x−a>=4<x−b,x−b>
3x2−8<x,b>+2<x,a>+4b2−a2=0
x2−2<x,(4b−a)/3>+((4b−a)/3)2=4<a−b,a−b>/9