希尔伯特空间

       在学信号与系统时，常常会碰到函数的内积的形式，比如根据傅立叶级数和傅立叶变换我们知道满足满足绝对可积的（非）周期函数都可以展开成无穷多个不同频率的函数函数的加权叠加,那么怎么确定不同函数前的系数呢？老师给我们讲的方法是两边同时求内积，然后就可以得出系数。那么，内积到底是什么呢？

     经查阅资料发现，内积是希尔伯特空间里的一种操作。希尔伯特空间又是什么呢？

     根据我们直观的感受，我们所生活的空间是三维空间，在3D的矢量空间中, 基底是i,j,k. 维度是3(有限维). 这三个基本的基矢量是完备的(矢量空间中任何一个元素都可以用这3个基底展开,系数唯一),正交的(不同的基底做点积为0.). 矢量空间中的任意两个元素之间可以定义算符F, 也就是操作。 

     再看看Hilbert空间, 基底一般是函数,常见的是含有各种频率的平面波函数,一种频率对应一个基底 ，维度是无穷。这些基底, 即平面波函数是完备的(Hilbert空间中的任何元素都可以用平面波函数展开, 其实就是指傅里叶变换), 正交(平面波函数做"点积"为delta函数). Hilbert空间中任意两元素也可以定义算符G, 也就是操作。

      
     建立Hilbert空间的目的是为量子力学中的计算提供强有力的数学基础, 也方便了抽象出其中更本质的运算.包括之后进行的关于对称性的讨论, 都是定义在Hilbert空间上的。

      注意上面的论述中并没有涉及到矩阵. 因为矩阵其实只是抽象定义的一种表现, 或者说是抽象的定义的一种表示(representation)而已. 这是群论的思想.所有这些后面发展起来的表示理论, 在Hilbert空间中表示后,(尤其是算符的表示)显得非常重要.