一类常见的矩阵快速幂题型 总结

 

Googlecode jam 2008 Round 1A(c.Numbers)

【题意】计算的小数点前三位数，不足三位补0,正整数n的最大值为20亿。

【前提】：满足

的值在【0，1】范围

首先将

展开之后可以发现

的形式，同样的，有

因此，

是个整数，

其中

这正是解题的关键！

由于

所以的整数部分等于

根据以上的推导

只要高效的求出an就可以解决这个问题了

由于

为观察仔细，进一步展开得：

得出

的递推关系

因此，可以用矩阵表示这个递推关系，使用矩阵快速幂，在O（logn）的时间里求出和,由于此题只要取前3位，因此对1000取模就可以了

代码：

#include <stdio.h>#include <string.h>#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;typedef long long LL;const LL siz=2;          // max size of the matrix,#define MODD(a,b) (((a%b)+b)%b)LL A,B,N,M,ret;struct mut{    LL mat[siz][siz];    mut(){        memset(mat,0,sizeof(mat));    }    void init(LL a,LL b,LL c,LL d){        mat[0][0]=a;        mat[0][1]=b;        mat[1][0]=c;        mat[1][1]=d;    }    mut operator *(const mut &c){        mut res;        for(int i=0; i<siz; ++i){            for(int k=0; k<siz; ++k){                for(int j=0; j<siz; ++j){                    res.mat[i][j]=MODD(res.mat[i][j]+mat[i][k]*c.mat[k][j],M);                }            }        }        return res;    }} AC;mut poww(LL n){    mut ans;    ans.init(1,0,0,1);    while(n){        if(n&1) ans=ans*AC;        n>>=1;        AC=AC*AC;    }    return ans;}int main(){    int t;    scanf("%d",&t);    while(t--){        scanf("%lld",&N);        M=1000;        AC.init(3,5,1,3);        mut ans=poww(N);        printf("%03lld\n",MODD(2*ans.mat[0][0]-1,M));    }    return 0;}

HDU 2256    Problem of Precision

【题意】：

【思路】和上题思路一样：

代码：

/*  * Problem: HDU No.2256* Running time: 15MS  * Complier: G++  * Author: javaherongwei * Create Time: 23:56 2015/9/21 星期一*/  #include <stdio.h>#include <string.h>#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;typedef long long LL;const LL siz=2;          // max size of the matrix,#define MODD(a,b) (((a%b)+b)%b)LL A,B,N,M,ret;struct mut{    LL mat[siz][siz];    mut(){        memset(mat,0,sizeof(mat));    }    void init(LL a,LL b,LL c,LL d){        mat[0][0]=a;        mat[0][1]=b;        mat[1][0]=c;        mat[1][1]=d;    }    mut operator *(const mut &c){        mut res;        for(int i=0; i<siz; ++i){            for(int k=0; k<siz; ++k){              for(int j=0; j<siz; ++j){                    res.mat[i][j]=MODD(res.mat[i][j]+mat[i][k]*c.mat[k][j],M);                }            }        }        return res;    }} AC;mut poww(LL n){    mut ans;    ans.init(1,0,0,1);    while(n){        if(n&1) ans=ans*AC;        n>>=1;        AC=AC*AC;    }    return ans;}int main(){    int t;    scanf("%d",&t);    while(t--){        scanf("%lld",&N);        M=1024;        AC.init(5,12,2,5);        mut ans=poww(N);        printf("%lld\n",MODD(2*ans.mat[0][0]-1,M));    }    return 0;}

HDU 1575 Tr A 

【题目链接】：click here~~

24K纯裸的矩阵计算：

【题意】：给定一个n*n的矩阵要求矩阵的k次幂之后的矩阵的对角线的和

代码：

/** Problem: HDU No.1575* Running time: 0MS* Complier: G++* Author: javaherongwei* Create Time: 8:10 2015/9/22 星期二*/#include <stdio.h>#include <string.h>#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;typedef long long LL;#define MODD(a,b) (((a%b)+b)%b)LL A,B,K,M,ret;LL N;LL siz;          // max size of the matrix,struct mut{    LL mat[10][10];    mut(){        memset(mat,0,sizeof(mat));    }    void init(){      for(int i=0; i<siz; ++i)        for(int j=0; j<siz; ++j)          if(i==j)mat[i][j]=1;          else mat[i][j]=0;    }    mut operator *(const mut &c){        mut res;        for(int i=0; i<siz; ++i){            for(int k=0; k<siz; ++k){              for(int j=0; j<siz; ++j){                    res.mat[i][j]=MODD(res.mat[i][j]+mat[i][k]*c.mat[k][j],M);                }            }        }        return res;    }} AC;mut poww(LL n){    mut ans;    ans.init();    while(n){        if(n&1) ans=ans*AC;        n>>=1;        AC=AC*AC;    }    return ans;}int main(){    int t;scanf("%d",&t);    while(t--){        scanf("%d %lld",&N,&K);M=9973;siz=N;        for(int i=0; i<N; ++i){            for(int j=0; j<N; ++j)                scanf("%d",&AC.mat[i][j]);        }        mut ans=poww(K);        LL sum=0;        for(int i=0; i<N; ++i){            sum+=ans.mat[i][i];        }        printf("%lld\n",MODD(sum,M));    }    return 0;}

CodeForces 185A Plant

【题目链接】

点击打开cf 185A

【思路】: 递推+矩阵快速幂

分析:

1 题目要求找到在n年后向上三角形的个数

2 写出前面的几个数F(0) = 1 , F(1) = 3 , F(2) = 10 , F(3) = 36 ，我们可以发现每一个向上三角形在后面形成的时候必然是分成了3个向上+1个向下的，总共分成了4个，这是包含了向下的，所以要减去，然后发现F(1向下)=1，F(2想下)=3-1=2，因此向下的可以推出关系：

从而找到通项公式 ：

构造矩阵：

之后就是矩阵快速幂了

代码：

/** Problem: CodeForces 185A* Running time: 8MS* Complier: G++* Author: javaherongwei* Create Time: 9:10 2015/9/22 星期二*/#include <stdio.h>#include <string.h>#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;typedef long long LL;#define MODD(a,b) (((a%b)+b)%b)LL A,B,K,M,ret;LL N;const int siz=2;          // max size of the matrix,struct mut{    LL mat[siz][siz];    mut(){        memset(mat,0,sizeof(mat));    }    void init(LL a,LL b,LL c,LL d){      mat[0][0]=a;mat[0][1]=b;      mat[1][0]=c;mat[1][1]=d;    }    mut operator *(const mut &c){        mut res;        for(int i=0; i<siz; ++i){            for(int k=0; k<siz; ++k){              for(int j=0; j<siz; ++j){                    res.mat[i][j]=MODD(res.mat[i][j]+mat[i][k]*c.mat[k][j],M);                }            }        }        return res;    }} AC;mut poww(LL n){    mut ans;    ans.init(1,0,0,1);    while(n){        if(n&1) ans=ans*AC;        n>>=1;        AC=AC*AC;    }    return ans;}int main(){    //int t;scanf("%d",&t);   // while(t--){   while(~scanf("%lld",&N)){        M=1e9+7;        AC.init(4,-1,0,2);        mut ans=poww(N);        printf("%lld\n",MODD(ans.mat[0][0]*1+ans.mat[0][1]*1,M));    }    return 0;}

HDU 2842 Chinese Rings

【题目链接】点击打开hdu2842

【思路】: 矩阵快速幂

【分析】:

1 题目的意思是给定n个环，和一些规则：

If the first k rings are all off and the (k + 1)th ring is on, then the (k + 2)th ring can be taken off or taken on with one step. (0 ≤ k ≤ 7)

要把所有的环全部拆下最少需要的步数

2 题目规定如果要拆第n个环，那么第n-1个要挂着，n-2环要被拆下。那么我们设f(n)表示拆下前n个环的最少的步骤

 那么考虑第n个环的情况，第n-1个环必须要挂着，n-2环要拆下，那么这一步就要f(n-2)，拆下第n个需要1步。然后只剩下第n-1个环，由于n-1环需要第n-2环挂着，所以我们需要把前n-2个环挂上去，所以需要f(n-2)，剩下n-1个需要拆下需要f(n-1)。那么总的需要:

3 接下来利用矩阵快速幂即可

代码：

/** Problem: HDU 2842* Running time: 0MS* Complier: G++* Author: javaherongwei* Create Time: 9:10 2015/9/22 星期二*/#include <stdio.h>#include <string.h>#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;typedef long long LL;#define MODD(a,b) (((a%b)+b)%b)LL A,B,K,M,ret;LL N;const int siz=3;          // max size of the matrix,struct mut{    LL mat[siz][siz];    mut(){        memset(mat,0,sizeof(mat));    }    void init(LL a1,LL a2,LL a3,LL b1,LL b2,LL b3,LL c1,LL c2,LL c3){      mat[0][0]=a1;mat[0][1]=a2;mat[0][2]=a3;      mat[1][0]=b1;mat[1][1]=b2;mat[1][2]=b3;      mat[2][0]=c1;mat[2][1]=c2;mat[2][2]=c3;    }    mut operator *(const mut &c){        mut res;        for(int i=0; i<siz; ++i){            for(int k=0; k<siz; ++k){              for(int j=0; j<siz; ++j){                    res.mat[i][j]=MODD(res.mat[i][j]+mat[i][k]*c.mat[k][j],M);                }            }        }        return res;    }} AC;mut poww(LL n){    mut ans;    ans.init(1,0,0,0,0,1,0,0,1);    while(n){        if(n&1) ans=ans*AC;        n>>=1;        AC=AC*AC;    }    return ans;}int main(){    //int t;scanf("%d",&t);   // while(t--){   while(~scanf("%lld",&N),N){         if(N==1){            puts("1");            continue;        }        M=200907;        AC.init(1,2,1,1,0,0,0,0,1);        mut ans=poww(N-2);        printf("%lld\n",MODD(ans.mat[0][0]*2+ans.mat[0][1]*1+ans.mat[0][2]*1,M));    }    return 0;}