最长公共子序列（LCS）

定义：

最长公共子序列，英文缩写为LCS（Longest Common Subsequence）。其定义是，一个序列 S ，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则 S 称为已知序列的最长公共子序列。而最长公共子串(要求连续)和最长公共子序列是不同的

例如  下面两个单词中颜色标记出来的 data 就是 didactical  和 advantage 的 最长公共子序列， 长度为4；

didactical
advantage 

求解：

一、首先我们用递归思想设计一个正确、可行的解。

①如果其中一个序列为空，那么最长公共子序列一定为空，长度为 0 。

②我们比较这两个序列的最后一个字母，如果相同，我们就可以将可以将问题规模缩小1位。

例如：

apple                                                                      appl

abstpdple  最后一个相同 ， 我们就可以进而求     abstpdpl 的最长公共子序列， 当然这时候要记录下已经有了的公共部分。

③如果最后一位不同怎么办？

例如

ap

abstpd ， 可以想到 ，这时候问题分为了两个部分：

        a                                                ap

求解 abstpd 的最长公共子序列 ，和 abstpd 的最长公共子序列

因为最后一个字符不一样，所以我们必定要舍弃两个序列中其中一个的最后一位。显然，我们需要这两个问题中公共子序列更长的那一个。

这样，整个递归算法就算描述完了。

实现的代码在文章最后给出，最好自己直接按照上述描述敲出来代码。

二、寻找优化：动态规划的思想。

我们可以简单的对上面递归的算法进行一些时间分析

最好的情况，也就是不出现③中情况的时候，只需要O（min（lena,lenb））.

然而一旦出现③，那么问题就会分解为两个问题，更糟糕的是，这两个问题的子问题可能雷同！

如图可以看到，两个子问题的子问题可能雷同，将造成大量的重复计算。

最坏的情况将达到 C（lena,lena+lenb）（组合数符号）， 当lena == lenb 时 ，大致为 O（2^n）。

时间复杂度达到了指数级别！

这里我们运用动态规划的思想，刚才递归是自顶向下，我们自底向上的去求解问题。

首先初始化dp数组的第一行和第一列为0；

如图所示，我们可以一行一行的填写这张表，运用上面递归中所讲的方法，

如果遇到相同的字符，dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1 ,

如果遇到不同的字符 dp[i][j] =max(dp[i-1][j] , dp[i][j-1]) .

这样每个空格只用遍历一次就能求出所有的结果，dp[lena][lenb]就是结果啦。

源代码：

#include<iostream>#include<cstdio>#include<algorithm>#include<cstring>using namespace std;const int maxn = 600;int dp[maxn][maxn];//递归版本的LCSint fun(string a,string b,int count){int lena = a.length();int lenb = b.length();if(lena == 0 || lenb == 0)return count;string tmpa,tmpb;tmpa = a.substr(0,lena-1);tmpb = b.substr(0,lenb-1);if(a[lena-1] == b[lenb-1]){return fun(tmpa,tmpb,count+1);}else {return max(fun(tmpa,b,count),fun(a,tmpb,count));}}//动态规划LCSvoid dynamic(string a,string b){int lena = a.length();int lenb = b.length();for(int i=0;i<=lena;i++){dp[i][0] = 0;}for(int i=0;i<=lenb;i++){dp[0][i] = 0;}for(int i=0;i<lena;i++){for(int j=0;j<lenb;j++){if(a[i] == b[j]){dp[i+1][j+1] = dp[i][j] + 1;}else{dp[i+1][j+1] = max(dp[i+1][j] , dp[i][j+1]);}}}printf("%d\n",dp[lena][lenb]);}void print(){//打印dp数组for(int i=0;i<=lena;i++){for(int j=0;j<=lenb;j++){printf("%d ",dp[i][j]);}puts("");}}int main(){string a,b;while(getline(cin,a)){getline(cin,b);dynamic(a,b); //动态规划// int ans = fun(a,b,0); //递归版本// printf("%d\n",ans);}return 0;}