决策树ID3、C4.5、CART算法：信息熵，区别，剪枝理论总结

来源：互联网发布：迅龙数据恢复软件官网编辑：程序博客网时间：2024/05/20 08:27

决策树算法中的ID3、c4.5、CART算法，记录如下：
    决策树算法：顾名思义，以二分类问题为例，即利用自变量构造一颗二叉树，将目标变量区分出来，所有决策树算法的关键点如下：
    1.分裂属性的选择。即选择哪个自变量作为树叉，也就是在n个自变量中，优先选择哪个自变量进行分叉。而采用何种计算方式选择树叉，决定了决策树算法的类型，即ID3、c4.5、CART三种决策树算法选择树叉的方式是不一样的，后文详细描述。
    2.树剪枝。即在构建树叉时，由于数据中的噪声和离群点，许多分支反映的是训练数据中的异常，而树剪枝则是处理这种过分拟合的数据问题，常用的剪枝方法为先剪枝和后剪枝。后文详细描述。
    为了描述方便，本文采用评价电信服务保障中的满意度预警专题来解释决策树算法，即假如我家办了电信的宽带，有一天宽带不能上网了，于是我打电话给电信报修，然后电信派相关人员进行维修，修好以后电信的回访专员询问我对这次修理障碍的过程是否满意，我会给我对这次修理障碍给出相应评价，满意或者不满意。根据历史数据可以建立满意度预警模型，建模的目的就是为了预测哪些用户会给出不满意的评价。目标变量为二分类变量：满意（记为0）和不满意（记为1）。自变量为根据修理障碍过程产生的数据，如障碍类型、障碍原因、修障总时长、最近一个月发生故障的次数、最近一个月不满意次数等等。简单的数据如下：
客户ID   故障原因   故障类型   修障时长       满意度
001    1    5   10.2   1
002    1    5   12   0
003   1   5   14   1
004 2     5   16  0
005    2    5   18 1
006    2    6   20   0
007   3     6   22 1
008    3    6   23   0
009   3    6   24   1
010   3    6   25   0
故障原因和故障类型都为离散型变量，数字代表原因ID和类型ID。修障时长为连续型变量，单位为小时。满意度中1为不满意、0为满意。
    下面沿着分裂属性的选择和树剪枝两条主线，去描述三种决策树算法构造满意度预警模型：
    分裂属性的选择：即该选择故障原因、故障类型、修障时长三个变量中的哪个作为决策树的第一个分支。
ID3算法是采用信息增益来选择树叉，c4.5算法采用增益率，CART算法采用Gini指标。此外离散型变量和连续型变量在计算信息增益、增益率、Gini指标时会有些区别。详细描述如下：
    1.ID3算法的信息增益：
     信息增益的思想来源于信息论的香农定理，ID3算法选择具有最高信息增益的自变量作为当前的树叉（树的分支），以满意度预警模型为例，模型有三个自变量：故障原因、故障类型、修障时长。分别计算三个自变量的信息增益，选取其中最大的信息增益作为树叉。信息增益=原信息需求-要按某个自变量划分所需要的信息。
如以自变量故障原因举例，故障原因的信息增益=原信息需求（即仅仅基于满意度类别比例的信息需求，记为a）-按照故障原因划分所需要的信息需求（记为a1）。

其中原信息需求a的计算方式为:

其中D为目标变量，此例中为满意度。m=2，即满意和不满意两种情况。Pi为满意度中属于分别属于满意和不满意的概率。此例中共计10条数据，满意5条，不满意5条。概率都为1/2。Info（满意度）即为仅仅基于满意和满意的类别比例进行划分所需要的信息需求，计算方式为：

按照故障原因划分所需要的信息需求（记为a1）可以表示为：

其中A表示目标变量D（即满意度）中按自变量A划分所需要的信息，即按故障类型进行划分所需要的信息。V表示在目标变量D（即满意度）中，按照自变量A（此处为故障原因）进行划分，即故障原因分别为1、2、3进行划分，将目标变量分别划分为3个子集，{D1、D2、D3}，因此V=3。即故障原因为1的划分中，有2个不满意和1个满意。D1即指2个不满意和1个满意。故障原因为2的划分中，有1个不满意和2个满意。D2即指1个不满意和2个满意。故障原因为3的划分中，有2个不满意和2个满意。D3即指2个不满意和2个满意。具体公式如下：

注：此处的计算结果即0.165不准确，没有真正去算，结果仅供参考。
因此变量故障原因的信息增益Gain(故障原因)=Info(满意度)- Info故障原因（满意度）=1-0.165=0.835

同样的道理，变量故障类型的信息增益计算方式如下：

=0.205（结果不准，为准确计算）
变量故障类型的信息增益Gain(故障类型)=1-0.205=0.795
故障原因和故障类型两个变量都是离散型变量，按上述方式即可求得信息增益，但修障时长为连续型变量，对于连续型变量该怎样计算信息增益呢？只需将连续型变量由小到大递增排序，取相邻两个值的中点作为分裂点，然后按照离散型变量计算信息增益的方法计算信息增益，取其中最大的信息增益作为最终的分裂点。如求修障时长的信息增益，首先将修障时长递增排序，即10.2、12、14、16、18、20、22、23、24、25,取相邻两个值的中点，如10.2和12，中点即为（10.2+12）/2=11.1,同理可得其他中点，分别为11.1、13、15、17、19、21、22.5、23.5、24.5。对每个中点都离散化成两个子集，如中点11.1，可以离散化为两个<=11.1和>11.1两个子集，然后按照离散型变量的信息增益计算方式计算其信息增益，如中点11.1的信息增益计算过程如下：

中点11.1的信息增益Gain(修障时长)=1-0.222=0.778
中点13的信息增益计算过程如下：

中点11.1的信息增益Gain(修障时长)=1-1=0
同理分别求得各个中点的信息增益，选取其中最大的信息增益作为分裂点，如取中点11.1。然后与故障原因和故障类型的信息增益相比较，取最大的信息增益作为第一个树叉的分支，此例中选取了故障原因作为第一个分叉。按照同样的方式继续构造树的分支。
总之，信息增益的直观解释为选取按某个自变量划分所需要的期望信息，该期望信息越小，划分的纯度越高。因为对于某个分类问题而言，Info(D)都是固定的，而信息增益Gain(A)=Info(D)-InfoA(D) 影响信息增益的关键因素为：-InfoA(D)，即按自变量A进行划分，所需要的期望信息越小，整体的信息增益越大，越能将分类变量区分出来。
2.C4.5算法的增益率：
由于信息增益选择分裂属性的方式会倾向于选择具有大量值的属性（即自变量），如对于客户ID，每个客户ID对应一个满意度，即按此变量划分每个划分都是纯的（即完全的划分，只有属于一个类别），客户ID的信息增益为最大值1。但这种按该自变量的每个值进行分类的方式是没有任何意义的。为了克服这一弊端，有人提出了采用增益率（GainRate）来选择分裂属性。计算方式如下：

其中Gain(A)的计算方式与ID3算法中的信息增益计算方式相同。
以故障原因为例：

                         =1.201
Gain(故障原因)=0.835（前文已求得）
    GainRate故障原因（满意度）=1.201/0.835=1.438
同理可以求得其他自变量的增益率。
选取最大的信息增益率作为分裂属性。
3.CART算法的Gini指标：
         CART算法选择分裂属性的方式是比较有意思的，首先计算不纯度，然后利用不纯度计算Gini指标。以满意度预警模型为例，计算自变量故障原因的Gini指标时，先按照故障原因可能的子集进行划分，即可以将故障原因具体划分为如下的子集：{1,2,3}、{1，2}、{1,3}、{2,3}、{1}、{2}、{3}、{}，共计8（2^V）个子集。由于{1,2,3}和{}对于分类来说没有任何意义，因此实际分为2^V-2共计6个有效子集。然后计算这6个有效子集的不纯度和Gini指标，选取最小的Gini指标作为分裂属性。

不纯度的计算方式为：

pi表示按某个变量划分中，目标变量不同类别的概率。

某个自变量的Gini指标的计算方式如下：

对应到满意度模型中，A为自变量，即故障原因、故障类型、修障时长。D代表满意度，D1和D2分别为按变量A的子集所划分出的两个不同元组，如按子集{1,2}划分，D1即为故障原因属于{1,2}的满意度评价，共有6条数据，D2即故障原因不属于{1,2}的满意度评价，共有3条数据。计算子集{1,2}的不纯度时，即Gini（D1），在故障原因属于{1,2}的样本数据中，分别有3条不满意和3条满意的数据，因此不纯度为1-(3/6)^2-(3/6)^2=0.5。
以故障原因为例，计算过程如下：

=0.5
计算子集故障原因={1,3}的子集的Gini指标时，D1和D2分别为故障原因={1,3}的元组共计7条数据，故障原因不属于{1,3}的元组即故障原因为2的数据，共计3条数据。详细计算过程如下：

=0.52

同理可以计算出故障原因的每个子集的Gini指标，按同样的方式还可以计算故障类型和修障时长每个子集的Gini指标，选取其中最小的Gini指标作为树的分支。连续型变量的离散方式与信息增益中的离散方式相同。
树的剪枝：
树剪枝可以分为先剪枝和后剪枝。
先剪枝：通过提前停止树的构造，如通过决定在给定的节点不再分裂或划分训练元组的子集，而对树剪枝，一旦停止，该节点即成为树叶。在构造树时，可以使用诸如统计显著性、信息增益等度量评估分裂的优劣，如果划分一个节点的元组低于预先定义阈值的分裂，则给定子集的进一步划分将停止。但选取一个适当的阈值是困难的，较高的阈值可能导致过分简化的树，而较低的阈值可能使得树的简化太少。
后剪枝：它由完全生长的树剪去子树，通过删除节点的分支，并用树叶替换它而剪掉给定节点的子树，树叶用被替换的子树中最频繁的类标记。

其中c4.5使用悲观剪枝方法，CART则为代价复杂度剪枝算法（后剪枝）。

对比总结：

一、 C&R 树

classification and regression trees 是一种基于树的分类和预测方法，模型使用简单，易于理解（规则解释起来更简明易），该方法通过在每个步骤最大限度降低不纯洁度，使用递归分区来将训练记录分割为组。然后，可根据使用的建模方法在每个分割处自动选择最合适的预测变量。如果节点中100% 的观测值都属于目标字段的一个特定类别，则该节点将被认定为“纯洁”。目标和预测变量字段可以是范围字段，也可以是分类字段；所有分割均为二元分割（即分割为两组）。分割标准用的是基尼系数(Gini Index)。

CART即分类回归树。如果目标变量是离散变量，则是classfication Tree，如果目标是连续变量，则是Regression Tree。

CART树是二叉树。 二叉树有什么优点？不像多叉树那样形成过多的数据碎片

二、C4.5离散化的过程

C4．5算法是构造决策树分类器的一种算法。这种算法利用比较各个描述性属性的信息增益值(Information Gain)的大小，来选择Gain值最大的属性进行分类。如果存在连续型的描述性属性，那么首先要把这些连续型属性的值分成不同的区间，即“离散化”。把连续型属性值“离散化”的方法是：
1．寻找该连续型属性的最小值，并把它赋值给MIN，寻找该连续型属性的最大值，并把它赋值给MAX；

2．设置区间【MIN,MAX】中的N个等分断点Ai，它们分别是Ai=MIN+（MAX-MIN）/N*i，其中，i=1,2，……，N；

3．分别计算把【MIN，Ai】和（Ai，MAX】（i=1,2，……，N）作为区间值时的Gain值，并进行比较；

4．选取Gain值最大的Ak作为该连续型属性的断点，把属性值设置为【MIN，Ak】和（Ak，MAX】两个区间值。

CA．5算法使用信息增益的概念来构造决策树，其中每个分类的决定都与所

择的目标分类有关不确定性的最佳评估方法是平均信息量，即信息嫡(Entropy)：

C4.5 决策树

优点：执行效率和内存使用改进、适用大数据集
      1)    面对数据遗漏和输入字段很多的问题时非常稳健；
      2)    通常不需要很长的训练次数进行估计；工作原理是基于产生最大信息增益的字段逐级分割样本
      3)    比一些其他类型的模型易于理解，模型推出的规则有非常直观的解释；
      4)    允许进行多次多于两个子组的分割。目标字段必须为分类字段

CART与ID3的区别

通过之前的研究发现，CART与ID3算法都是基于信息论的决策树算法，CART算法是一种通过计算Diversity(整体)-diversity(左节点)-diversity(右节点)的值取最佳分割的算法。ID3和CART算法的区别主要集中在树的生成和树的修剪方面，但是ID3算法只能处理离散型的描述性属性。C4．5算法是ID3算法的后续算法，它能够处理连续型数据。

CART中用于选择变量的不纯性度量是Gini指数；

如果目标变量是标称的，并且是具有两个以上的类别，则CART可能考虑将目标类别合并成两个超类别（双化）；
如果目标变量是连续的，则CART算法找出一组基于树的回归方程来预测目标变量。

三、 QUEST决策树

优点：运算过程比C&R 树更简单有效quick unbiased efficient statistical tree （快速无偏有效的统计树）QUEST 节点可提供用于构建决策树的二元分类法，此方法的设计目的是减少大型 C&R 决策树分析所需的处理时间，同时减小分类树方法中常见的偏向类别较多预测变量的趋势。预测变量字段可以是数字范围的，但目标字段必须是分类的。所有分割都是二元的。

四、CHAID决策树

优点(chi-squared automatic interaction detection，卡方自动交互检测)，通过使用卡方统计量识别最优分割来构建决策树的分类方法
1) 可产生多分支的决策树

2) 目标和预测变量字段可以是范围字段，也可以是分类字段

3) 从统计显著性角度确定分支变量和分割值，进而优化树的分枝过程(前向修剪)

4) 建立在因果关系探讨中，依据目标变量实现对输入变量众多水平划分

五、树的剪枝理论

1.树的生长及变量处理

（1）对于离散变量X（x1…xn）,分别取X变量各值的不同组合，将其分到树的左枝或右枝，并对不同组合而产生的树，进行评判，找出最佳组合。如变量年纪，其值有“少年”、“中年”、“老年”，则分别生产{少年，中年}和{老年}，{上年、老年}和{中年}，{中年，老年}和{少年}，这三种组合，最后评判对目标区分最佳的组合。

（2）对于连续变量X（x1…xn）,首先将值排序，分别取其两相邻值的平均值点作为分隔点，将树一分成左枝和右枝，不断扫描，进而判断最佳分割点。

2. 变量和最佳切分点选择原则

树的生长，总的原则是，让枝比树更纯，而度量原则是根据不纯对指标来衡量，对于分类树，则用GINI指标、Twoing指标、Order Twoing等；如果是回归树则用，最小平方残差、最小绝对残差等指标衡量

（1）GINI指标（Gini越小，数据越纯）——针对离散目标

（2）最小平方残差——针对连续目标

其思想是，让组内方差最小，对应组间方差最大，这样两组，也即树分裂的左枝和右枝差异化最大。

（3）通过以上不纯度指标，分别计算每个变量的各种切分/组合情况，找出该变量的最佳值组合/切分点；再比较各个变量的最佳值组合/切分点，最终找出最佳变量和该变量的最佳值组合/切分点

3. 目标值的估计

（1）分类树：最终叶子中概率最大的类

（2）回归树：最终叶子的均值或者中位数

4.树的剪枝

（1）前剪枝( Pre-Pruning)

通过提前停止树的构造来对决策树进行剪枝，一旦停止该节点下树的继续构造，该节点就成了叶节点。一般树的前剪枝原则有：

a.节点达到完全纯度

b.树的深度达到用户所要的深度

c.节点中样本个数少于用户指定个数

d.不纯度指标下降的最大幅度小于用户指定的幅度

（2）后剪枝( Post-Pruning)

首先构造完整的决策树，允许决策树过度拟合训练数据，然后对那些置信度不够的结点的子树用叶结点来替代。CART 采用Cost-Complexity Pruning（代价-复杂度剪枝法），代价(cost) ：主要指样本错分率；复杂度(complexity) ：主要指树t的叶节点数，(Breiman…)定义树t的代价复杂度(cost-complexity):