社团划分——Fast Unfolding算法

一、社区划分问题

1、社区以及社区划分

在社交网络中，用户相当于每一个点，用户之间通过互相的关注关系构成了整个网络的结构，在这样的网络中，有的用户之间的连接较为紧密，有的用户之间的连接关系较为稀疏，在这样的的网络中，连接较为紧密的部分可以被看成一个社区，其内部的节点之间有较为紧密的连接，而在两个社区间则相对连接较为稀疏，这便称为社团结构。

(Newman and Gievan 2004) A community is a subgraph containing nodes which are more densely linked to each other than to the rest of the graph or equivalently, a graph has a community structure if the number of links into any subgraph is higher than the number of links between those subgraphs.

如下图：

用红色的点和黑色的点对其进行标注，整个网络被划分成了两个部分，其中，这两个部分的内部连接较为紧密，而这两个社区之间的连接则较为稀疏。如何去划分上述的社区便称为社区划分的问题。

2、社区划分的算法

在社区划分问题中，存在着很多的算法，如由Newman和Gievan提出的GN算法，标签传播算法(Label Propagation Algorithm, LPA)，这些算法都能一定程度的解决社区划分的问题，但是性能则是各不相同。总的来说，在社区划分中，主要分为两大类算法

1. 凝聚方法(agglomerative method)：添加边
2. 分裂方法(divisive method)：移除边

在后续的文章中，我们会继续关注不同的社区划分的算法，在这篇文章中，主要关注Fast Unfolding算法。

3、社区划分的评价标准

为了评价社区划分的优劣，Newman等人提出了模块度的概念，用模块度来衡量社区划分的好坏。简单来讲，就是将连接比较稠密的点划分在一个社区中，这样模块度的值会变大，最终，模块度最大的划分是最优的社区划分。

二、模块度的概念

1、模块度的公式

社区划分的目标是使得划分后的社区内部的连接较为紧密，而在社区之间的连接较为稀疏，通过模块度的可以刻画这样的划分的优劣，模块度越大，则社区划分的效果越好 ，模块度的公式如下所示：

Q=12m∑i,j[Ai,j−kikj2m]δ(ci,cj)

其中，m=12∑i,jAi,j表示的是网络中的所有的权重，Ai,j表示的是节点i和节点j之间的权重，ki=∑jAi,j表示的是与顶点i连接的边的权重，ci表示的是顶点被分配到的社区，δ(ci,cj)用于判断顶点i与顶点j是否被划分在同一个社区中，若是，则返回1，否则，返回0。

2、模块度公式的简化形式

上述的模块度的计算可以得到以下的简化形式：

Q=∑c⎡⎣∑in2m−(∑tot2m)2⎤⎦

其中，∑in表示的是社区c内部的权重，∑tot表示的是与社区c内部的点连接的边的权重，包括社区内部的边以及社区外部的边。

3、模块度公式的解释

模块度（modularity）指的是网络中连接社区结构内部顶点的边所占的比例，减去在同样的社团结构下任意连接这两个节点的比例的期望值。

三、Fast Unfolding算法

1、Fast Unfolding算法的思路

模块度成为度量社区划分优劣的重要标准，划分后的网络模块度值越大，说明社区划分的效果越好，Fast Unfolding算法便是基于模块度对社区划分的算法，Fast Unfolding算法是一种迭代的算法，主要目标是不断划分社区使得划分后的整个网络的模块度不断增大。

2、Fast Unfolding算法的过程

Fast Unfolding算法主要包括两个阶段，如下图所示：

第一阶段称为Modularity Optimization，主要是将每个节点划分到与其邻接的节点所在的社区中，以使得模块度的值不断变大；第二阶段称为Community Aggregation，主要是将第一步划分出来的社区聚合成为一个点，即根据上一步生成的社区结构重新构造网络。重复以上的过程，直到网络中的结构不再改变为止。

具体的算法过程如下所示：

1. 初始化，将每个点划分在不同的社区中；
2. 对每个节点，将每个点尝试划分到与其邻接的点所在的社区中，计算此时的模块度，判断划分前后的模块度的差值ΔQ是否为正数，若为正数，则接受本次的划分，若不为正数，则放弃本次的划分；
3. 重复以上的过程，直到不能再增大模块度为止；
4. 构造新图，新图中的每个点代表的是步骤3中划出来的每个社区，继续执行步骤2和步骤3，直到社区的结构不再改变为止。

注意：在步骤2中计算节点的顺序对模块度的计算是没有影响的，而是对计算时间有影响。

四、算法实现

针对上图表示的网络，最终的结果为：

可以使用下面的程序实现其基本的原理：

import stringdef loadData(filePath):    f = open(filePath)    vector_dict = {}    edge_dict = {}    for line in f.readlines():        lines = line.strip().split("\t")        for i in xrange(2):            if lines[i] not in vector_dict:                #put the vector into the vector_dict                vector_dict[lines[i]] = True                #put the edges into the edge_dict                edge_list = []                if len(lines) == 3:                    edge_list.append(lines[1-i]+":"+lines[2])                else:                    edge_list.append(lines[1-i]+":"+"1")                edge_dict[lines[i]] = edge_list            else:                edge_list = edge_dict[lines[i]]                if len(lines) == 3:                    edge_list.append(lines[1-i]+":"+lines[2])                else:                    edge_list.append(lines[1-i]+":"+"1")                edge_dict[lines[i]] = edge_listreturn vector_dict, edge_dictdef modularity(vector_dict, edge_dict):    Q = 0.0    # m represents the total wight    m = 0    for i in edge_dict.keys():        edge_list = edge_dict[i]        for j in xrange(len(edge_list)):            l = edge_list[j].strip().split(":")            m += string.atof(l[1].strip())    # cal community of every vector    #find member in every community    community_dict = {}    for i in vector_dict.keys():        if vector_dict[i] not in community_dict:            community_list = []        else:            community_list = community_dict[vector_dict[i]]        community_list.append(i)        community_dict[vector_dict[i]] = community_list    #cal inner link num and degree    innerLink_dict = {}    for i in community_dict.keys():        sum_in = 0.0        sum_tot = 0.0        #vector num        vector_list = community_dict[i]        #print "vector_list : ", vector_list        #two loop cal inner link        if len(vector_list) == 1:            tmp_list = edge_dict[vector_list[0]]            tmp_dict = {}            for link_mem in tmp_list:                l = link_mem.strip().split(":")                tmp_dict[l[0]] = l[1]            if vector_list[0] in tmp_dict:                sum_in = string.atof(tmp_dict[vector_list[0]])            else:                sum_in = 0.0        else:            for j in xrange(0,len(vector_list)):                link_list = edge_dict[vector_list[j]]                tmp_dict = {}                for link_mem in link_list:                    l = link_mem.strip().split(":")                    #split the vector and weight                    tmp_dict[l[0]] = l[1]                for k in xrange(0, len(vector_list)):                    if vector_list[k] in tmp_dict:                        sum_in += string.atof(tmp_dict[vector_list[k]])        #cal degree        for vec in vector_list:            link_list = edge_dict[vec]            for i in link_list:                l = i.strip().split(":")                sum_tot += string.atof(l[1])                Q += ((sum_in / m) - (sum_tot/m)*(sum_tot/m))    return Qdef chage_community(vector_dict, edge_dict, Q):    vector_tmp_dict = {}    for key in vector_dict:        vector_tmp_dict[key] = vector_dict[key]    #for every vector chose it's neighbor    for key in vector_tmp_dict.keys():        neighbor_vector_list = edge_dict[key]        for vec in neighbor_vector_list:            ori_com = vector_tmp_dict[key]            vec_v = vec.strip().split(":")            #compare the list_member with ori_com            if ori_com != vector_tmp_dict[vec_v[0]]:                vector_tmp_dict[key] = vector_tmp_dict[vec_v[0]]                Q_new = modularity(vector_tmp_dict, edge_dict)                #print Q_new                if (Q_new - Q) > 0:                    Q = Q_new                else:                    vector_tmp_dict[key] = ori_com    return vector_tmp_dict, Qdef modify_community(vector_dict):    #modify the community    community_dict = {}    community_num = 0    for community_values in vector_dict.values():        if community_values not in community_dict:            community_dict[community_values] = community_num            community_num += 1    for key in vector_dict.keys():        vector_dict[key] = community_dict[vector_dict[key]]    return community_numdef rebuild_graph(vector_dict, edge_dict, community_num):    vector_new_dict = {}    edge_new_dict = {}    # cal the inner connection in every community    community_dict = {}    for key in vector_dict.keys():        if vector_dict[key] not in community_dict:            community_list = []        else:            community_list = community_dict[vector_dict[key]]        community_list.append(key)        community_dict[vector_dict[key]] = community_list    # cal vector_new_dict    for key in community_dict.keys():        vector_new_dict[str(key)] = str(key)    # put the community_list into vector_new_dict    #cal inner link num    innerLink_dict = {}    for i in community_dict.keys():        sum_in = 0.0        #vector num        vector_list = community_dict[i]        #two loop cal inner link        if len(vector_list) == 1:            sum_in = 0.0        else:            for j in xrange(0,len(vector_list)):                link_list = edge_dict[vector_list[j]]                tmp_dict = {}                for link_mem in link_list:                    l = link_mem.strip().split(":")                    #split the vector and weight                    tmp_dict[l[0]] = l[1]                for k in xrange(0, len(vector_list)):                    if vector_list[k] in tmp_dict:                        sum_in += string.atof(tmp_dict[vector_list[k]])        inner_list = []        inner_list.append(str(i) + ":" + str(sum_in))        edge_new_dict[str(i)] = inner_list    #cal outer link num    community_list = community_dict.keys()    for i in xrange(len(community_list)):        for j in xrange(len(community_list)):            if i != j:                sum_outer = 0.0                member_list_1 = community_dict[community_list[i]]                member_list_2 = community_dict[community_list[j]]                for i_1 in xrange(len(member_list_1)):                    tmp_dict = {}                    tmp_list = edge_dict[member_list_1[i_1]]                    for k in xrange(len(tmp_list)):                        tmp = tmp_list[k].strip().split(":");                        tmp_dict[tmp[0]] = tmp[1]                    for j_1 in xrange(len(member_list_2)):                        if member_list_2[j_1] in tmp_dict:                            sum_outer += string.atof(tmp_dict[member_list_2[j_1]])                if sum_outer != 0:                    inner_list = edge_new_dict[str(community_list[i])]                    inner_list.append(str(j) + ":" + str(sum_outer))                    edge_new_dict[str(community_list[i])] = inner_list    return vector_new_dict, edge_new_dict, community_dictdef fast_unfolding(vector_dict, edge_dict):    #1. initilization:put every vector into different communities    #   the easiest way:use the vector num as the community num    for i in vector_dict.keys():        vector_dict[i] = i    #print "vector_dict : ", vector_dict    #print "edge_dict : ", edge_dict    Q = modularity(vector_dict, edge_dict)      #2. for every vector, chose the community    Q_new = 0.0    while (Q_new != Q):        Q_new = Q        vector_dict, Q = chage_community(vector_dict, edge_dict, Q)    community_num = modify_community(vector_dict)    print "Q = ", Q    print "vector_dict.key : ", vector_dict.keys()    print "vector_dict.value : ", vector_dict.values()    Q_best = Q    while (True):        #3. rebulid new graph, re_run the second step        print "edge_dict : ",edge_dict        print "vector_dict : ",vector_dict        print "\n rebuild"        vector_dict, edge_new_dict, community_dict = rebuild_graph(vector_dict, edge_dict, community_num)        #print vector_dict        print "community_dict : ", community_dict        Q_new = 0.0        while (Q_new != Q):            Q_new = Q            vector_dict, Q = chage_community(vector_dict, edge_new_dict, Q)        community_num = modify_community(vector_dict)        print "Q = ", Q        if (Q_best == Q):            break        Q_best = Q        vector_result = {}        for key in community_dict.keys():            value_of_vector = community_dict[key]            for i in xrange(len(value_of_vector)):                vector_result[value_of_vector[i]] = str(vector_dict[str(key)])        for key in vector_result.keys():            vector_dict[key] = vector_result[key]        print "vector_dict.key : ", vector_dict.keys()        print "vector_dict.value : ", vector_dict.values()    #get the final result    vector_result = {}    for key in community_dict.keys():        value_of_vector = community_dict[key]        for i in xrange(len(value_of_vector)):            vector_result[value_of_vector[i]] = str(vector_dict[str(key)])    for key in vector_result.keys():        vector_dict[key] = vector_result[key]    print "Q_best : ", Q_best    print "vector_result.key : ", vector_dict.keys()    print "vector_result.value : ", vector_dict.values()if __name__ == "__main__":    vector_dict, edge_dict=loadData("./cd_data.txt")    fast_unfolding(vector_dict, edge_dict)

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参考文献

1. Vincent D Blondel, Jean-Loup Guillaume, Renaud Lambiotte, Etienne Lefebvre, Fast unfolding of communities in large networks, in Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment 2008 (10), P1000
2. 社区发现算法FastUnfolding的GraphX实现 http://www.tuicool.com/articles/Jrieue