LeetCode(53) Climbing Stairs (剑指Offer->跳台阶、变态跳台阶)

Climbing Stairs (跳台阶)

题目描述

You are climbing a stair case. It takes n steps to reach to the top.

Each time you can either climb 1 or 2 steps. In how many distinct ways can you climb to the top?

本题对应了《剑指offer》上的跳台阶。
一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

题目解法

本题是一道很典型的递归题目，根据题目的初始条件可知：

• f(1) = 1;
• f(2) = 2;
• f(n) = f(n-1) + f(n-2) （n > 2）

对于n个台阶时的解释是，最后青蛙可以一次跳一个台阶，则解法是f(n-1)；也可以直接跳两个台阶，则解法是f(n-2)。

其实到这里大家可以发现本题和斐波拉切数列的思路相同，不同点仅仅在于初始条件，因此可以使用递归得到结果。然而本题的递归过程中会涉及到太多的重复计算。因为在计算f(n)的时候需要计算f(n-1)和f(n-2)，而在计算f(n-1)时本身也是需要计算f(n-2)的。所以还是不采用递归的方式，使用两个变量分别表示为f(n-1)和f(n-2)并更新这两个变量，从而得到最终结果。

class Solution {public:    int climbStairs(int n) {        if(n <= 2) return n;        int first = 1;        int second = 2;        for(size_t i = 3; i <= n; ++i)        {            second = first + second;            first = second - first;        }        return second;    }};

变态跳台阶

本题是在上一题的基础上的升级版，来源于《剑指offer》。

题目描述

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

解题思路

本题和第一题的思路相同，当然这题如果使用递归去做的话那么迭代的时候重复的次数太多了，很可能会造成栈溢出。这里我们使用辅助空间的办法将递归变成循环。

class Solution {public:    int jumpFloorII(int number) {        if(number <= 2) return number;        vector<int> jump;        jump.push_back(1);        jump.push_back(2);        for(int i = 2; i != number; ++i)        {            int floor = accumulate(jump.begin(), jump.end(), 0) + 1;            jump.push_back(floor);        }        return jump[number-1];    }};

解法进阶

上述做法每次对数组进行求和效率也不高，可以进一步分析题意。当有n个台阶时,分析如下:
f(1) = 1
f(2) = f(2-1) + f(2-2) //f(2-2) 表示2阶一次跳2阶的次数。
f(3) = f(3-1) + f(3-2) + f(3-3)
…
f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + … + f(n-(n-1)) + f(n-n)

• 这里的f(n) 代表的是n个台阶有一次1,2,…n阶的 跳法数。
• n = 1时，只有1种跳法，f(1) = 1

• n = 2时，会有两个跳得方式，一次1阶或者2阶，这回归到了问题（1） ，f(2) = f(2-1) + f(2-2)

• n = n时，会有n中跳的方式，1阶、2阶…n阶，得出结论：f(n) = f(n-1)+f(n-2)+…+f(n-(n-1)) + f(n-n) => f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n-1)

• 由以上已经是一种结论，但是为了简单，我们可以继续简化：
• f(n-1) = f(0) + f(1)+f(2)+f(3) + … + f((n-1)-1) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n-2)
• f(n) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n-2) + f(n-1) = f(n-1) + f(n-1)
• 可以得出： f(n) = 2*f(n-1)

得出最终结论,在n阶台阶，一次有1、2、…n阶的跳的方式时，总得跳法为f(n)：

• 1 ,(n=0 )
• 1 ,(n=1 )
• 2*f(n-1),(n>=2)

所以代码为：

public class Solution {    public int JumpFloorII(int target) {        if (target <= 0) {            return -1;        } else if (target == 1) {            return 1;        } else {            return 2 * JumpFloorII(target - 1);        }    }}

更简单一点为：

public class Solution {    public int JumpFloorII(int target) {        return  1<<--number;    }}