求一个整数的二进制中1的个数

题目：输入一个整数，求该整数的二进制表达中有多少个1。例如输入10，由于其二进制表示为1010，有两个1，因此输出2。

分析：这是一道很基本的考查位运算的面试题。包括微软在内的很多公司都曾采用过这道题。

一个很基本的想法是，我们先判断整数的最右边一位是不是1。接着把整数右移一位，原来处于右边第二位的数字现在被移到第一位了，再判断是不是1。这样每次移动一位，直到这个整数变成0为止。现在的问题变成怎样判断一个整数的最右边一位是不是1了。很简单，如果它和整数1作与运算。由于1除了最右边一位以外，其他所有位都为0。因此如果与运算的结果为1，表示整数的最右边一位是1，否则是0。

得到的代码如下：

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// Get how many 1s in an integer’s binary expression
///////////////////////////////////////////////////////////////////////
int NumberOf1_Solution1(int i)
{
int count = 0;
while(i)
{
if(i & 1)
count ++;

        i = i >> 1;  }  return count;

}

可能有读者会问，整数右移一位在数学上是和除以2是等价的。那可不可以把上面的代码中的右移运算符换成除以2呢？答案是最好不要换成除法。因为除法的效率比移位运算要低的多，在实际编程中如果可以应尽可能地用移位运算符代替乘除法。

这个思路当输入i是正数时没有问题，但当输入的i是一个负数时，不但不能得到正确的1的个数，还将导致死循环。以负数0x80000000为例，右移一位的时候，并不是简单地把最高位的1移到第二位变成0x40000000，而是0xC0000000。这是因为移位前是个负数，仍然要保证移位后是个负数，因此移位后的最高位会设为1。如果一直做右移运算，最终这个数字就会变成0xFFFFFFFF而陷入死循环。

为了避免死循环，我们可以不右移输入的数字i。首先i和1做与运算，判断i的最低位是不是为1。接着把1左移一位得到2，再和i做与运算，就能判断i的次高位是不是1……这样反复左移，每次都能判断i的其中一位是不是1。基于此，我们得到如下代码：

///////////////////////////////////////////////////////////////////////
// Get how many 1s in an integer’s binary expression
///////////////////////////////////////////////////////////////////////
int NumberOf1_Solution2(int i)
{
int count = 0;
unsigned int flag = 1;
while(flag)
{
if(i & flag)
count ++;

        flag = flag << 1;  }  return count;

}

另外一种思路是如果一个整数不为0，那么这个整数至少有一位是1。如果我们把这个整数减去1，那么原来处在整数最右边的1就会变成0，原来在1后面的所有的0都会变成1。其余的所有位将不受到影响。举个例子：一个二进制数1100，从右边数起的第三位是处于最右边的一个1。减去1后，第三位变成0，它后面的两位0变成1，而前面的1保持不变，因此得到结果是1011。

我们发现减1的结果是把从最右边一个1开始的所有位都取反了。这个时候如果我们再把原来的整数和减去1之后的结果做与运算，从原来整数最右边一个1那一位开始所有位都会变成0。如1100&1011=1000。也就是说，把一个整数减去1，再和原整数做与运算，会把该整数最右边一个1变成0。那么一个整数的二进制有多少个1，就可以进行多少次这样的操作。

这种思路对应的代码如下：

///////////////////////////////////////////////////////////////////////
// Get how many 1s in an integer’s binary expression
///////////////////////////////////////////////////////////////////////
int NumberOf1_Solution3(int i)
{
int count = 0;

  while (i)  {        ++ count;        i = (i - 1) & i;  }  return count;

}

扩展：如何用一个语句判断一个整数是不是二的整数次幂？

PS：n&(n-1)==0;//二进制数只有一位位1，则该数是2的整数次幂.

简单查表，相对来说效率也不错。

int countBits(int value){
int count=0;
int bits4[]={0,1,1,2,1,2,2,3,1,2,2,3,2,3,3,4};
while(value!=0){
count+=bits4[value&0xf];
value>>=4;
}
return count;
}

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这是一道《编程之美－微软技术面试心得》中的题目，问题描述如下：

对于一个字节(8bit)的变量,求其二进制表示中“1”的个数,要求算法的执行效率尽可能地高。

《编程之美》中给出了五种解法，但是实际上从 Wikipedia 上我们可以找到更优的算法。

这道题的本质相当于求二进制数的 Hamming 权重，或者说是该二进制数与 0 的 Hamming 距离，这两个概念在信息论和编码理论中是相当有名的。在二进制的情况下，它们也经常被叫做 population count 或者 popcount 问题，比如 gcc 中就提供了一个内建函数：

int __builtin_popcount (unsigned int x)

输出整型数二进制中 1 的个数。但是 GCC 的 __builtin_popcount 的实现主要是基于查表法做的，跟编程之美中解法 5 是一样的。Wikipedia 上的解法是基于分治法来做的，构造非常巧妙，通过有限次简单地算术运算就能求得结果，特别适合那些受存储空间限制的算法中使用：

/* ===========================================================================
* Problem:
* The fastest way to count how many 1s in a 32-bits integer.
*
* Algorithm:
* The problem equals to calculate the Hamming weight of a 32-bits integer,
* or the Hamming distance between a 32-bits integer and 0. In binary cases,
* it is also called the population count, or popcount.[1]
*
* The best solution known are based on adding counts in a tree pattern
* (divide and conquer). Due to space limit, here is an example for a
* 8-bits binary number A=01101100:[1]
* | Expression | Binary | Decimal | Comment |
* | A | 01101100 | | the original number |
* | B = A & 01010101 | 01000100 | 1,0,1,0 | every other bit from A |
* | C = (A>>1) & 01010101 | 00010100 | 0,1,1,0 | remaining bits from A |
* | D = B + C | 01011000 | 1,1,2,0 | # of 1s in each 2-bit of A |
* | E = D & 00110011 | 00010000 | 1,0 | every other count from D |
* | F = (D>>2) & 00110011 | 00010010 | 1,2 | remaining counts from D |
* | G = E + F | 00100010 | 2,2 | # of 1s in each 4-bit of A |
* | H = G & 00001111 | 00000010 | 2 | every other count from G |
* | I = (G>>4) & 00001111 | 00000010 | 2 | remaining counts from G |
* | J = H + I | 00000100 | 4 | No. of 1s in A |
* Hence A have 4 1s.
*
* [1] http://en.wikipedia.org/wiki/Hamming_weight
*
* 这个算法的设计思想用的是二分法，两两一组相加，之后四个四个一组相加，接着八个八个，最后就得到各位之和了。

• 设原整数值为x，
• 第一步：把x的32个bit分成16组（第32bit和第31bit一组，第30bit和第29bit一组……以此类推），然后将每一组的两bit上的值（因为是二进制数，所以要么是0要么是1）相加并把结果还放在这两bit的位置上，这样，得到结果整数x1，x1的二进制（32bit）可以分为16组，每一组的数值就是原来整数x在那两bit上1的个数。
• 第二步：把第一步得到的结果x1的32bit，分成8组(第32、31、30、29bit一组，第28、27、26、25bit一组……以此类推)，然后每一组的四bit上的值相加并把结果还放在这四bit的位置上，这样，又得到结果整数x2，x2的二进制可以分为8组，每一组的数值就是原来整数x在那四bit上的1的个数。
• ……
• 这样一直分组计算下去，最终，把两个16bit上1的个数相加，得到原来整数x的32bit上1的个数。

===========================================================================
*/

include