O(N^3)找最大子矩阵Submatrix

其实这个方法是从找最大子序列演化过来的

找最大子序列的话，最直接的方法是确定左右边界，然后把这之间的加起来，与当前最大值比较，这样做法复杂度为O(N^3)

稍微优化一下的话，是确定一边，然后一个一个加上去，每次与当前最大值比较，这样做法复杂度为O(N^2)

再优化一下，就是从第一个开始加，每加一次之后与当前最大值比较，一旦和小于0，就把和清零，因为说明前面的那段对最大没有贡献，复杂度为O(N)

这其实也是动态规划的思想

令b[j]表示从a[0]~a[j]的最大子段和，b[j]的当前值只有两种情况，(1) 最大子段一直连续到a[j]  (2) 以a[j]为起点的子段，不知有没有读者注意到还有一种情况，那就是最大字段没有包含a[j]，如果没有包含a[j]的话，那么在算b[j]之前的时候我们已经算出来了，注意我们只是算到位置为j的地方，所以最大子断在a[j]后面的情况我们可以暂时不考虑。
由此我们得出b[j]的状态转移方程为：b[j]=max{b[j-1]+a[j],a[j]},
所求的最大子断和为max{b[j],0<=j<n}。进一步我们可以将b[]数组用一个变量代替。
得出的算法如下：
    int maxSubArray(int n,int a[])
    {
        int b=0,sum=-10000000;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
             if(b>0) b+=a[i];
             else b=a[i];
             if(b>sum) sum=b;  
        }
        return sum;
    }
这就是第三种方法－动态规划。

 

然后现在再来看矩阵，如果把最大子矩阵分成这么几种情况：从第i行到第j行，这里就需要O(N^2)，然后对于选定的行边界，再把这两个边界之间所有行的同一列相加，就可以合并得到一个序列，接下来就是求最大子序列问题，因此再乘上O(N)，总的复杂度即为O(N^3)

 

顺便提一句，之前的对于子序列的O(N^3)与O(N^2)分别对应的方法在求最大子矩阵里为O(N^6)与O(N^4)