n皇后2种解题思路与代码-Java与C++实现

          林炳文Evankaka原创作品。转载请注明出处http://blog.csdn.net/evankaka

           摘要：本文主要讲了n皇后问题的解题思路，并分别用java和c++实现了过程，最后，对于算法改进，使用了位运算。

一、问题抛出与初步解题思路

问题描述：八皇后问题是一个以国际象棋为背景的问题：如何能够在 8×8 的国际象棋棋盘上放置八个皇后，使得任何一个皇后都无法直接吃掉其他的皇后？为了达到此目的，任两个皇后都不能处于同一条横行、纵行或斜线上。

转化规则：其实八皇后问题可以推广为更一般的n皇后摆放问题：这时棋盘的大小变为n×n，而皇后个数也变成n。当且仅当 n = 1 或 n ≥ 4 时问题有解。令一个一位数组a[n]保存所得解，其中a[i] 表示把第i个皇后放在第i行的列数（注意i的值都是从0开始计算的），下面就八皇后问题做一个简单的从规则到问题提取过程。

（1）因为所有的皇后都不能放在同一列，因此数组的不能存在相同的两个值。
（2）所有的皇后都不能在对角线上，那么该如何检测两个皇后是否在同一个对角线上？我们将棋盘的方格成一个二维数组，如下：

假设有两个皇后被放置在（i，j）和（k，l）的位置上，明显，当且仅当|i-k|=|j-l| 时，两个皇后才在同一条对角线上。

二、代码与结果

（1）C++版本

运行平台：VS2013

操作系统:Windows7

/** * n皇后问题解决 * @author lin * */#include <iostream>#include <cmath>#include<time.h>using namespace std;/**皇后的数目*/static int num;/**下标i表示第几行，x[i]表示第i行皇后的位置,注意此处0行不用*/static int *x;/**解的数目*/static int sum = 0;/** * 判断第k行皇后可以放置的位置 * @param k k表示第k行，X[K]k表示第k行上皇后的位置 * @return boolean false表示此处不能放置皇后 */bool place( int k ){for ( int j = 1; j < k; j++ ){/* 如果当前传入的第K行上的皇后放置的位置和其它皇后一个对角线(abs(x[k]- x[j])==abs(k-j)或一个直线上(x[j] == x[k]) */if ( abs( x[k] - x[j] ) == abs( k - j ) || x[j] == x[k] ){return(false);}}return(true);}/** * 一行一行的确定该行的皇后位置 * @param t */void backtrack( int t ){if ( t > num )                  /* 如果当前行大于皇后数目，表示找到解了 */{sum++;/* 依次打印本次解皇后的位置 */for ( int m = 1; m <= num; m++ ){//cout << x[m];   /* 这一行用输出当递归到叶节点的时候，一个可行解 *///这里只是为了好看才写成下面的for(int k =1; k <= num;k++){if(k == x[m]){cout << x[m] <<" "; }else {cout << "* ";//用*表示没有被用到的位置 }}cout << endl;}cout << endl;} else {for ( int i = 1; i <= num; i++ ){x[t] = i;       /* 第t行上皇放在i列处 */if ( place( t ) ){/* 此处的place函数用来进行我们上面所说的条件的判断，如果成立，进入下一级递归 */backtrack( t + 1 );}}}}int main(){cout<<"请输入皇后数目：";cin>>num; clock_t start,finish;double totaltime;//计算程序运行时间start=clock();//起始时间x= new int[num + 1];     /* 此处注意加1，这里0行不用，1-num分别对应1-num行 */for ( int i = 0; i <= num; i++ )x[i] = 0;backtrack( 1 );                 /*传入第一个皇后，开始递归 */cout << "方案共有" << sum;delete[]x;finish=clock();//结束时间totaltime=(double)(finish-start)/CLOCKS_PER_SEC;cout<<"\n此程序的运行时间为"<<totaltime<<"秒！"<<endl;while (1);return(0);}

输出结果：

8皇后：

10皇后：

（2）java版本

运行平台：eclispse luna

操作系统:Windows7

package com.lin;import java.lang.*;/** * n皇后问题解决 * @author lin * */public class QueenTest {/**下标i表示第几行，x[i]表示第i行皇后的位置,注意此处0行不用*/public int[] x;/**皇后的数目*/public int queenNum;/**解的数目*/public int methodNum; QueenTest(int queenNum) {this.queenNum = queenNum;this.x = new int[queenNum+1];//注意，这里我们从第1行开始算起，第0行不用backtrack(1);//从第一个皇后开始递归}/** * 一行一行的确定该行的皇后位置 * @param t */public void backtrack(int t){    if( t > queenNum) //如果当前行大于皇后数目，表示找到解了    {    methodNum++;//sum为所有的可行的解    //依次打印本次解皇后的位置        for(int m = 1; m <= queenNum; m++){           //System.out.println(x[m]);//这一行用输出当递归到叶节点的时候，一个可行解           //这里只是为了好看才写成下面的           for(int k =1; k <= queenNum;k++){           if(k == x[m]){         System.out.print(x[m]+" ");            }else {         System.out.print("* ");//用*表示没有被用到的位置 }           }        System.out.println();        }        System.out.println();    }    else{        for(int i = 1;i <= queenNum;i++)        {            x[t] = i;//第t行上皇后的位置只能是1-queenNum                      if(place(t)) {//此处的place函数用来进行我们上面所说的条件的判断，如果成立，进入下一级递归,即放置下一个皇后            backtrack(t+1);            }        }    }}    /**     * 判断第k行皇后可以放置的位置     * @param k k表示第k行，X[K]k表示第k行上皇后的位置     * @return boolean false表示此处不能放置皇后     */public boolean place(int k) {for (int j = 1; j < k; j++)// 如果当前传入的第K行上的皇后放置的位置和其它皇后一个对角线(abs(x[k]- x[j])==abs(k-j)或一个直线上(x[j] == x[k])if (Math.abs(x[k] - x[j]) == Math.abs(k - j) || (x[j] == x[k])){return false;}return true;}public static void main(String[] args) {QueenTest queenTest = new QueenTest(8);System.out.println("总共解数为："+ queenTest.methodNum);}}

输出结果：

这是八皇后

这是十皇后：

通过对比java和C++发现，反而java运行更加快？这是为什么呢？原因就是C++中使用了new操作，而java中基本数据都是在栈上来创建的，存取的速度比堆快多了。

三、更加高效的算法-位运算版本

    上面的方法递归次数实在太多了，也浪费空间，下面介绍目前号称是最快的--位运算。原理就不介绍了，看这里吧http://blog.csdn.net/xadillax/article/details/6512318

（1）Java代码

package com.lin;import java.util.Scanner;/** * n皇后问题解决 * @author lin * */public class QueenTest3 {/**sum用来记录皇后放置成功的不同布局数*/public long sum = 0;/**upperlim用来标记所有列都已经放置好了皇后*/public long upperlim = 1;        /** * 试探算法从最右边的列开始。   * @param row 竖列 * @param ld  左对角线 * @param rd  右对角线 */void queenPos(long row, long ld, long rd)  {      if (row != upperlim)      {          // row，ld，rd进行“或”运算，求得所有可以放置皇后的列,对应位为0，          // 然后再取反后“与”上全1的数，来求得当前所有可以放置皇后的位置，对应列改为1          // 也就是求取当前哪些列可以放置皇后          long pos = upperlim & ~(row | ld | rd);           while (pos != 0)    // 0 -- 皇后没有地方可放，回溯          {              // 拷贝pos最右边为1的bit，其余bit置0              // 也就是取得可以放皇后的最右边的列              long p = pos & -pos;                                                              // 将pos最右边为1的bit清零              // 也就是为获取下一次的最右可用列使用做准备，              // 程序将来会回溯到这个位置继续试探              pos -= p;                                           // row + p，将当前列置1，表示记录这次皇后放置的列。              // (ld + p) << 1，标记当前皇后左边相邻的列不允许下一个皇后放置。              // (ld + p) >> 1，标记当前皇后右边相邻的列不允许下一个皇后放置。              // 此处的移位操作实际上是记录对角线上的限制，只是因为问题都化归              // 到一行网格上来解决，所以表示为列的限制就可以了。显然，随着移位              // 在每次选择列之前进行，原来N×N网格中某个已放置的皇后针对其对角线              // 上产生的限制都被记录下来了              queenPos(row + p, (ld + p) << 1, (rd + p) >> 1);                                        }      }      else         {          // row的所有位都为1，即找到了一个成功的布局，回溯          sum++;      }  }/** * 根据传入的皇后数目开始计算 * @param n 皇后数据 */void queen(int queenNum) {if ((queenNum < 1) || (queenNum > 32)) {System.out.println(" 只能计算1-32之间\n");return;}// N个皇后只需N位存储，N列中某列有皇后则对应bit置1。upperlim = (upperlim << queenNum) - 1;queenPos(0, 0, 0);}public static void main(String[] args) {Scanner sc=new Scanner(System.in);  System.out.print("请输入皇后数目:");  int num=sc.nextInt();  long starTime=System.currentTimeMillis();//程序开始时间QueenTest3 queenTest3 = new QueenTest3();queenTest3.queen(num);System.out.println("总共解数为："+ queenTest3.sum);long endTime=System.currentTimeMillis();//程序结束时间double runTimes=(double)(endTime-starTime) / 1000.0;System.out.println("程序总共运行时间："+ runTimes + "s");}}

运行结果：

八皇后的效果：（位运算版本）

把上面的代码中的输出结果的去掉：（非位运算版本）

    //依次打印本次解皇后的位置      /*  for(int m = 1; m <= queenNum; m++){           //System.out.println(x[m]);//这一行用输出当递归到叶节点的时候，一个可行解           //这里只是为了好看才写成下面的           for(int k =1; k <= queenNum;k++){           if(k == x[m]){         System.out.print(x[m]+" ");            }else {         System.out.print("* ");//用*表示没有被用到的位置 }           }        System.out.println();        }        System.out.println();*/

然后输出如下：

经过两者对比，发现快了2ms

十皇后效果，没想到反而比八皇后的位运算版本还快（十皇后位运算版本）

十皇后非位运算版本

快了10倍啊！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

12皇后

位运算

非位运算

（2）C++版本

/* ** 目前最快的N皇后递归解决方法 ** N Queens Problem ** 试探-回溯算法，递归实现 */  #include <iostream>using namespace std;  #include <time.h>// sum用来记录皇后放置成功的不同布局数；upperlim用来标记所有列都已经放置好了皇后。  long sum = 0, upperlim = 1;       // 试探算法从最右边的列开始。  void test(long row, long ld, long rd)  {  if (row != upperlim)  {  // row，ld，rd进行“或”运算，求得所有可以放置皇后的列,对应位为0，  // 然后再取反后“与”上全1的数，来求得当前所有可以放置皇后的位置，对应列改为1  // 也就是求取当前哪些列可以放置皇后  long pos = upperlim & ~(row | ld | rd);   while (pos)    // 0 -- 皇后没有地方可放，回溯  {  // 拷贝pos最右边为1的bit，其余bit置0  // 也就是取得可以放皇后的最右边的列  long p = pos & -pos;                                                // 将pos最右边为1的bit清零  // 也就是为获取下一次的最右可用列使用做准备，  // 程序将来会回溯到这个位置继续试探  pos -= p;                             // row + p，将当前列置1，表示记录这次皇后放置的列。  // (ld + p) << 1，标记当前皇后左边相邻的列不允许下一个皇后放置。  // (ld + p) >> 1，标记当前皇后右边相邻的列不允许下一个皇后放置。  // 此处的移位操作实际上是记录对角线上的限制，只是因为问题都化归  // 到一行网格上来解决，所以表示为列的限制就可以了。显然，随着移位  // 在每次选择列之前进行，原来N×N网格中某个已放置的皇后针对其对角线  // 上产生的限制都被记录下来了  test(row + p, (ld + p) << 1, (rd + p) >> 1);                                }  }  else     {  // row的所有位都为1，即找到了一个成功的布局，回溯  sum++;  }  }  int main()  {  int num;cout<<"请输入皇后数目：";cin>>num; clock_t start,finish;double totaltime;//计算程序运行时间start=clock();//起始时间// 因为整型数的限制，最大只能32位，  // 如果想处理N大于32的皇后问题，需要  // 用bitset数据结构进行存储  if ((num < 1) || (num > 32))                   {  cout << " 只能计算1-32之间\n";  return 0;}  // N个皇后只需N位存储，N列中某列有皇后则对应bit置1。  upperlim = (upperlim << num) - 1;           test(0, 0, 0);  cout << "方案共有" << sum;finish=clock();//结束时间totaltime=(double)(finish-start)/CLOCKS_PER_SEC;cout<<"\n此程序的运行时间为"<<totaltime<<"秒！"<<endl;while(1);return 0;  }

输出结果：

下面来对比下java和C++运算的效果：

16皇后C++版本（位运算）

16皇后java版本（位运算）

发现又是java快了点。