规范变换

真空中的Maxwell方程组

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪∇⋅E=ρε0∇×E=−∂B∂t∇⋅B=0∇×B=μ0j+ε0μ0∂E∂t

其中的 ρ 和 j 满足电荷守恒方程

∂ρ∂t+∇⋅j=0

由于

∇⋅B=0

所以可以引入矢势A

B=∇×A

代入第二个方程得

∇×E=−∂(∇×A)∂t⇒∇×(E+∂A∂t)=0

所以E+∂A∂t是无旋场，可以引入标势φ

E=−∂A∂t−∇φ

这样 A 和 φ 决定了 E 和 B ，称为电磁势。
作变换

A′=A+∇ψφ′=φ−∂ψ∂t

其中ψ是任意函数。上式称为电磁势的规范变换。

把电磁势的表达式代入Maxwell方程组的另外两个方程，得

∇2φ+∂∂t(∇⋅A)=−ρε0∇2A−1c2∂2A∂t2−∇(∇⋅A+1c2∂φ∂t)=−μ0j

如果规定

∇⋅A+1c2∂φ∂t=0

那么有

∇2φ−1c2∂2φ∂t2=−ρε0∇2A−1c2∂2A∂t2=−μ0j

这个条件称为洛仑兹规范，这个结果A和φ都具有有源的波动方程的形式.

如果规定

∇⋅A=0

那么有

∇2φ=−ρε0∇2A−1c2∂2A∂t2−1c2∂∇φ∂t=−μ0j

这个条件称为库仑规范，这个结果φ都具有和静电场相同的形式.

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本篇主要参考俞允强《电动力学简明教程》