Simulated Binary Crossover（SBX）的学习

最近在做作业遇到一个Dejong’s fifth function的multi modal的问题，用传统的GA方法尝试了很多次，的确没办法搞定，随机很多次也不一定在global optimum的地方得到一次解。前几天去导师家里的路上谈到这个事情，导师说一般现在都用SBX和polynomial的mutation。于是回来找了相关论文来看，找到了SBX最早的论文，奇怪的是，在论文中竟然没有给出伪代码，只是在讲解他的motivation。大概的motivation是这样的：
1：SBX主要是用于real number的编码问题，但是借鉴与来自binary 编码的idea。在binary中，假设2个parent分别为p1和p2，后代分别为c1和c2。那么是这么一个属性的：(p1+p2)/2=(c1+c2)/2。再定义一个叫做spread factor的玩意β=|(c2−c1)/(p2−p1)|

2：在SBX中就要满足第一个属性，以及尽量β也binary中的概率分布一致。由此一个方案：
c1=(p2+p1)−0.5∗β(p2−p1)
c2=(p2+p1)+0.5∗β(p2−p1)
大家可以自己计算，是满足上面2个玩意的。

3：那么接下来其实就是求β的，因为是要让在real的问题中的β的分布尽量接近binary中的，那么就要首先知道binary中的分布。binary中的分布如下：
c(β)=0.5(n+1)βn,β≤1 and c(β)=0.5(n+1)1βn+2,β>1
也就是说β有2个分布的，具体怎么做呢？我看到有人实现是这么来的。

3.1：随机一个数字在[0,1]之间，如果该数字小于等于0.5按照第一个来求，否则按照第二个来求。求解的时候是按照对β的概率分布等于这个随机数字来计算的。这个只需要求积分即可，手工就能推导出来。

最后我用这个方法再加上tournament selection以及polynomial mutation的方法，在求解上面说的multi modal的问题的时候，竟然很多次都求解出来了！