Find the Duplicate Number

（寻找重复数）

问题定义

给定一个数组A，大小为N+1，且所有元素均来自前N个自然数(1,2...,N)。显然，必然存在一个元素Ai∈(1,2,...N)出现两次以上，且我们规定有且只有一个元素出现两次以上。下面在分析时，将数组元素全部减一，方便描述和理解。

要求：
1. 不可改变数组A的内容，即该数组只读。
2. 空间复杂度为O(1)。
3. 时间复杂度小于O(N2)。

问题分析

1. 记录方法

   开辟新数组，且遍历数组A，记录数组元素的出现次数。显然，时间复杂度满足题目要求，但是空间复杂度为O(N)。
   因此，该方法不适合本题。

2. 数组变单链表法

   这里数组变链表指的是将数组看做链表，这是可行的。如题数组A，将下标i∈[0,N−1]当做链表节点的序号，此时我们相当于拥有N个节点。然后，将下标i对应的数组元素Ai理解为链表节点i所指向的下一个节点的序号。一句话，数组A的下标和值表示的是链表节点的序号，而下标和元素值的对应关系相当于链接表指针。

   基于上述内容和题目要求，我们知道重复数相当于在单链表中被指向两次及以上的节点序号。从这句话，隐约感觉到问题的求解与判断单链表是否存在闭圈（circle）有关系。事实上，题目里有数组A转换来的链表确实存在circle的。

   首先，节点N−1只能指向(0,N−2)，且不被其他点所指。由N−1出发，它所指向的点P只有两种可能：是重复数和不是重复数。
   如果P不是重复数，继续考虑P所指向的下一个节点，此时问题相当于回到原点；如果P是重复数，也继续考虑它指向的下一个节点，问题回归到原点。注意，无论上面哪一种情况，最后一定会指向重复数（因为重复数是必然存在的，题目已说明）。从中可以看出，必然存在圈。那么，我们用寻找圈的方法就好了。

class Solution {public:    //提示：将数组理解为链表，下标对应的下一个元素就是下标所指的值    //根据题意，num.size()-1不会出现在数组中，同时，从该点出发一定会遍历到重复数（只有两种可能是重复数和非重复数）    //想到了位运算，很好！    //可以将该题理解为对数组形式链表的应用，换言之，数组也可以看做链表    int findDuplicate(vector<int>& nums) {        int slow = nums.size()-1;        int fast = nums.size()-1;        while(1){            slow = nums[slow] - 1;            fast = nums[nums[fast]-1] - 1;            if( slow == fast )                break;        }        fast = nums.size() - 1;        while(1){            if( fast == slow )                break;            fast = nums[fast] - 1;            slow = nums[slow] - 1;        }        return fast+1;    }};