最少找零问题与完全背包模型的一点思考

        最少找零问题描述如下，有n张硬币，价值存储在一个数组中，每种硬币个数都是无限的，再给定一个要找的零钱数，然后试用最少的数目的硬币来找我们要求的数目。

比如  5,2,3，要找出20元钱，我们人工的判断几个可能，很快就可以找出最优，也就是4张5元，也就是4.  

      如果这个题目要求用程序解决，我们可以遵循如下思路

      首先如果全部用5元，则其最多4张，如果全部用2元，则最多是10张，如果全部3元，最多6张（如果是7张，则大于20元），所以我们可以使用暴力递归来判断，在0张5元，0张2元，0张3元， 或者0张5元，0张2元，1张3元，或者0张5元，0张2元，2张3元·······

    以钱币金额为标准，其调用的数目表格如下，

    5    2   3

——————

   0     0    0

  0     0    1

  0     0    2

  0     0    3

  0    0     4

  0    0      5

  0     0     6

  0    1     0

  0    1     1

  0    1     2

 0     1     3

 0      1    4

 0     1    5      

 0     1    6

 0     2    0 

 0    2      1

 0    2     2

0     2     3

0     2     4

0     2     5      （这里3元金额的数目为5，而没有到6，是因为前面调用了0张5元，2张2元，这是剩余金额为20-2*2=16元，最多需要5张）

0     3     0

··············

从以上表格可以看到在标注的地方，选择了0张5元，2张2元，5张3元，这时候还剩1元，这个需要我们考虑，如果多了1元，该如何处理。

如果做过背包问题的多重背包问题，必然知道这个题目的模型和多重背包是很类似的，一个深度搜索，在下标到达边界时候，返回一个值，但是多重背包返回的是0，而且多重背包完全不会考虑你装完最后一个物品后， 你的背包容量还剩几个单元，是正好装满，还是差几个单元，它只关注他的总体最大价值，而这个题和完全背包问题的区别在于，这个题需要判断，我们在递归到边界的时候，“背包”的容量还有多少，如果前面选择了x个5元，y个2元，z个3元，这时候再递归到边界时候，“背包”剩余容量是0，代表前面的这些组合正好组成了我们需要的金钱数目，这时候需要返回什么？同样如果前面选择了x个5元，y个2元，z个3元，这时候再递归到边界时候，“背包”剩余容量不是0，代表前面的组合没有组成我们要的数目，还差几块钱，这时候，要返回什么？

很明显，面对第一个问题，我们只需要返回0就可以了，然后前面的硬币数目（比如 x y z）加上返回值，就可以返回其组合数。

面对第二个问题，我们可以用一个例子来看看

5   2     3

——————

···········

0   4     0 ----->  要给前面返回一个比较大的值

0   4     1 ----->  要给前面返回一个比较大的值

0   4     2 ----->  要给前面返回一个比较大的值

0   4     3 ----->  要给前面返回一个比较大的值

0   4    4 

0   5    0

0   5    1

0   5    2

上面是几组数据， 对于前四组，我们口算就可以得知其都不可以组合成20，递归到边界时候，要返回一个值，返回谁？如果是0，肯定是错误的，我们可以返回一个比较大的值，比如#define MAXSIZE 10010，返回这个MAXSIZE，往下走，在0   4   4 时候，正好可以组合成20元，返回0，然后0+4+4+0（相加顺序是从后往前的，因为递归本来就是从后往前回溯的）=8，对于0张5元，4张2元，我们可以得到5个返回值，分别是 MAXSIZE， MAXSIZE， MAXSIZE， MAXSIZE，8，我们找到这里面最小的8，就可以结束（0,4，x）这个递归了，后面也都是一样。

总结下，如果递归到边界时候，剩余硬币数目为0，也就是刚刚好，要返回0，如果是非0，则返回一个预定义的一个较大值，代码如下。

#include <iostream>#include <cstdlib>#include <cstdio>#include <cstring>using namespace std;#define MAXSIZE 10010int arr[100]={3,5};int fun(int arr[],int index,int aim){int ret=MAXSIZE;   if(index==2)   {    if(aim==0)return 0;elsereturn MAXSIZE;   }     if(aim<=0) { return 0; }     for(int i=0;i*arr[index]<=aim;i++)   {   ret=std::min(ret,i+fun(arr,index+1,aim-i*arr[index]));   } return ret;}int main(){if(MAXSIZE==fun(arr,0,2)){  cout<<0<<endl;}elsecout<<fun(arr,0,22);  return 0;}