拓扑排序(Topological Sorting)
来源:互联网 发布:网络营销策划方案范文 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 11:01
一、什么是拓扑排序
在图论中,拓扑排序(Topological Sorting)是一个有向无环图(DAG, Directed Acyclic Graph)的所有顶点的线性序列。且该序列必须满足下面两个条件:
- 每个顶点出现且只出现一次。
- 若存在一条从顶点 A 到顶点 B 的路径,那么在序列中顶点 A 出现在顶点 B 的前面。
有向无环图(DAG)才有拓扑排序,非DAG图没有拓扑排序一说。
例如,下面这个图:
它是一个 DAG 图,那么如何写出它的拓扑排序呢?这里说一种比较常用的方法:
- 从 DAG 图中选择一个 没有前驱(即入度为0)的顶点并输出。
- 从图中删除该顶点和所有以它为起点的有向边。
- 重复 1 和 2 直到当前的 DAG 图为空或当前图中不存在无前驱的顶点为止。后一种情况说明有向图中必然存在环。
于是,得到拓扑排序后的结果是 { 1, 2, 4, 3, 5 }。
通常,一个有向无环图可以有一个或多个拓扑排序序列。
二、拓扑排序的应用
拓扑排序通常用来“排序”具有依赖关系的任务。
比如,如果用一个DAG图来表示一个工程,其中每个顶点表示工程中的一个任务,用有向边 表示在做任务 B 之前必须先完成任务 A。故在这个工程中,任意两个任务要么具有确定的先后关系,要么是没有关系,绝对不存在互相矛盾的关系(即环路)。
三、拓扑排序的实现
根据上面讲的方法,我们关键是要维护一个入度为0的顶点的集合。
图的存储方式有两种:邻接矩阵和邻接表。这里我们采用邻接表来存储图,C++代码如下:
1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768
#include<iostream>#include <list>#include <queue>using namespace std;/************************类声明************************/class Graph{int V; // 顶点个数list<int> *adj; // 邻接表queue<int> q; // 维护一个入度为0的顶点的集合int* indegree; // 记录每个顶点的入度public:Graph(int V); // 构造函数~Graph(); // 析构函数void addEdge(int v, int w); // 添加边bool topological_sort(); // 拓扑排序};/************************类定义************************/Graph::Graph(int V){this->V = V;adj = new list<int>[V];indegree = new int[V]; // 入度全部初始化为0for(int i=0; i<V; ++i)indegree[i] = 0;}Graph::~Graph(){delete [] adj;delete [] indegree;}void Graph::addEdge(int v, int w){adj[v].push_back(w); ++indegree[w];}bool Graph::topological_sort(){for(int i=0; i<V; ++i)if(indegree[i] == 0)q.push(i); // 将所有入度为0的顶点入队int count = 0; // 计数,记录当前已经输出的顶点数 while(!q.empty()){int v = q.front(); // 从队列中取出一个顶点q.pop();cout << v << " "; // 输出该顶点++count;// 将所有v指向的顶点的入度减1,并将入度减为0的顶点入栈list<int>::iterator beg = adj[v].begin();for( ; beg!=adj[v].end(); ++beg)if(!(--indegree[*beg]))q.push(*beg); // 若入度为0,则入栈}if(count < V)return false; // 没有输出全部顶点,有向图中有回路elsereturn true; // 拓扑排序成功}
测试如下DAG图:
12345678910111213
int main(){Graph g(6); // 创建图g.addEdge(5, 2);g.addEdge(5, 0);g.addEdge(4, 0);g.addEdge(4, 1);g.addEdge(2, 3);g.addEdge(3, 1);g.topological_sort();return 0;}
输出结果是 4, 5, 2, 0, 3, 1。这是该图的拓扑排序序列之一。
每次在入度为0的集合中取顶点,并没有特殊的取出规则,随机取出也行,这里使用的queue
。取顶点的顺序不同会得到不同的拓扑排序序列,当然前提是该图存在多个拓扑排序序列。
由于输出每个顶点的同时还要删除以它为起点的边,故上述拓扑排序的时间复杂度为
另外,拓扑排序还可以采用 深度优先搜索(DFS)的思想来实现,详见《topological sorting via DFS》。
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