向量及其运算

结构体定义

//向量结构体struct point{    double x;    double y;}p1,p2;//向量加法point operator+(point p1,point p2);{    point pnew;    pnew.x=p1.x+p2.x;    pnew.y=p1.y+p2.y;    return pnew;}//向量减法point operator-(point p1,point p2);{    point pnew;    pnew.x=p1.x-p2.x;    pnew.y=p1.y-p2.y;    return pnew;}//向量乘法double operator*(point p1,point p2);/*内积（几何意义：α在β的投影α’与β的长度的乘积）point operator*(point p1,point p2);{    return p1.x*p2.x+p1.y*p2.y;}*//*外积（几何意义：α和β所张成的平行四边形的有向面积）外积的符号判定：右手定则（见下）point operator*(point p1,point p2);{    return p1.x*p2.y-p2.x*p1.y;}*/

应用

1.利用α×β==0？来判断三点共线

point p1,p2,p3;if(fabs((p1-p2)*(p3-p2))<eps) {}//eps是绝对值极小接近0的数，这里的*指外积else {}

2.判断点P（x,y）是否在线段P1P2上，其中P1（x1,y1）P2（x2,y2）

//需要判断2点//1.P在P1P2直线上，及应用1的三点共线if(fabs((p1-p)*(p2-p))<eps){    //2.P在P1P2为对角线的矩形内    if(min(x1,x2)<=x&&x<=max(x1,x2)&&        min(y1,y2)<=y&&y<=max(y1,y2))    {        //P在P1P2线段上    }    else     {        //P不在P1P2线段上    }}else{    //P不在P1P2线段上}

3.判断两线段P1P2和P3P4是否相交，其中Pi坐标为（xi,yi）

//需要两步判断//1.快速排斥实验（以P1P2为对角线的矩形S1是否和以P3P4为对角线的矩形S2有重叠部分）if(min(x1,x2)<=max(x3,x4)&&    min(x3,x4)<=max(x1,x2)&&        min(y1,y2)<=max(y3,y4)&&            min(y3,y)<=max(y1,y2)){    //2.跨立实验（原理见下）    if( ((P1-P3)*(P4-P3))*((P2-P3)*(P4-P3))<=0 &&        ((P3-P1)*(P2-P1))*((P4-P1)*(P2-P1))<=0 )    {        //相交    }    else    {        //不想交    }}else{    //不想交}

跨立实验原理：若 P1P2 跨立 Q1Q2，则 P1,P2 分别在 Q1Q2 所在直线的两端，则有 (P1 - Q1)(Q2 - Q1) (Q2 - Q1)(P2 - Q1) > 0，当 (P1 - Q1)(Q2 - Q1) = 0 时，说明 (P1 - Q1) 与 (Q2 - Q1) 共线，但由于已经经过快速排斥试验，所以 Q1 必为 P1P2 与 Q1Q2 的交点，依然满足线段相交的条件，则跨立试验可改为：
当 (P1 - Q1)(Q2 - Q1) (Q2 - Q1)*(P2 - Q1) >= 0，则 P1P2 跨立 Q1Q2，当 Q1Q2 也跨立 P1P2 的时候，则 P1P2 相交
（注意式子中被隔开的 * 代表两个叉积的值的相乘，而另外的两个 * 则代表计算矢量叉积）

另：HDU课件里的判断直线相交代码