莫比乌斯反演
来源:互联网 发布:win10无法磁盘优化 编辑:程序博客网 时间:2024/04/29 22:49
定义
反演
已知函数F(x)是可以通过f(x)变换而来的,现在求f(x)通过F(x)的变换。
这样的逆变换称之为
举个栗子,
莫比乌斯反演
规定了F(x)到f(x)的变换关系,然后求逆变换。已知
可以先给一个例子直观地感受一下这个变换:
另一种形式
莫比乌斯公式还有一种常用的形式较为常用:
当
x应该有个范围的~
证明
已知
证明:
详细证明见莫比乌斯函数的证明
性质
μ(x) 是积性函数。
其实x必须是无素数因子的平方项时才可行。∑d∣xμ(d)={1,0,x=1x>1
证明x>1时的情况:当x的素因子有r个时,从r个里面选取k个乘积为d,∑d∣xμ(d)=C0x+C1x(−1)1+C2x(−1)2...+Cxx(−1)x=(1−1)x=0 ∑d∣xμ(d)d=ϕ(x)x
看起来是个诡异的性质,实际就是将F(x)=x,f(x)=ϕ(x) 代入其中。当然,前提是n=∑d∣nϕ(d) 欧拉函数性质4给出了证明。
应用
线性筛法
int mobi[N]={0,1}, num[N], prim[N], cnt = 0;void set(){ for(int i = 0;i < N;i++) num[i] = 1; for(int i = 2;i < N;i++) { if(num[i]) { prim[cnt++] = i; mobi[i] = -1; } for(int j = 0;j < cnt && prim[j]*i < N;j++) { num[prim[j]*i] = 0; if(i % prim[j] == 0) { mobi[prim[j]*i] = 0; break; } mobi[prim[j]*i] = -mobi[i]; } }}
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