hdu(5501)——The Highest Mark

来源：互联网发布：淘宝直通车图片尺寸编辑：程序博客网时间：2024/05/18 07:24

题意：

问题描述

2045年的SD省队选拔，赛制和三十年前已是完全不同。一场比赛的比赛时间有  $t$  分钟，有  $n$  道题目。第  $i$  道题目的初始分值为  $A_i(A_i \leq 10^{6})$  分，之后每过一分钟这道题目的分值会减少  $B_i$  分，并且保证到比赛结束时分值不会减少为负值。比如，一个人在第  $x$  分钟结束时做出了第  $i$  道题目，那么他/她可以得到  $A_i - B_i * x$  分。若一名选手在第  $x$  分钟结束时做完了一道题目，则他/她可以在第  $x + 1$  分钟开始时立即开始做另一道题目。参加省队选拔的选手 dxy 具有绝佳的实力，他可以准确预测自己做每道题目所要花费的时间，做第  $i$  道需要花费  $C_i(C_i \leq t)$  分钟。由于 dxy 非常神，他会做所有的题目。但是由于比赛时间有限，他可能无法做完所有的题目。他希望安排一个做题的顺序，在比赛结束之前得到尽量多的分数。

输入描述

第一行为一个正整数  $\leq 10)$ ，表示数据组数( $n > 200$ 的数据不超过 $5$ 组)。对于每组数据，第一行为两个正整数  $\leq 1000)$  和  $\leq 3000)$ , 分别表示题目数量和比赛时间。接下来有  $n$  行，每行  $3$  个正整数依次表示  $A_i, B_i, C_i$ ，即此题的初始分值、每分钟减少的分值、dxy做这道题需要花费的时间。

输出描述

对于每组数据输出一行一个整数，代表dxy这场比赛最多能得多少分

输入样例

14 10110 5 930 2 180 4 850 3 2

输出样例

Hint

dxy先做第二题，再做第一题，第一题得分为 $110 - 5 * (1 + 9) = 60$ ，第二题得分为 $30 - 2 * 1 = 28$ ，总得分为 $88$ ，其他任何方案的得分都小于 $88$

思路：

因为要使得分尽可能的多，所以很容易让人想到要用贪心法。

这里有一个很巧妙的思路。

首先，我们已经假设已经选出来了我们要选择哪些题目，那么我们就要确定我们应该以哪种顺序做这些题目。

假设我们以x1,x2,,,,,xn的顺序做这些题目，那么我们要讨论这样做题目是不是最优的。讨论xi,xi+1，考虑交换这两项的顺序，方案是否会变得更优，交换方案中的相邻两项，只会对这两道题的得分有影响，对其余的题目不会产生影响。。

第一种是xi在前面，那么此时我们损耗的分数是A=c[i]*b[i+1]；第二种是xi+1在前面，此时我们损耗的分数是B=c[i+1]*b[i]；

第一种是当A<=B时，那么我们是不用进行交换的。

第二种是当A>B时，那么我们此时应该交换这两项。移项得 $B_{x_{i+1}} / C_{x_{i+1}} > B_{x_{i}} / C_{x_{i}}$

因此我们先对所有的题目按照这个比值进行排序，接下来，只要按照排好的顺序，选择做哪些题目就可以了。这相当于一个简单的“背包问题”，使用动态规划来解决。 ${dp}_i$ 表示恰好用了 $i$ 分钟的最高得分。状态转移方程为 ${dp}_i = \max_{1\leq j\leq n}{dp}_{i-C_j} + A_j - (i * B_j)$ 。

最主要是想到按照那个比值排序，接下来的就是01背包了。

#include<stdio.h>#include<string.h>#include<iostream>#include<algorithm>#include<cmath>using namespace std;#define maxn 1010int dp[3030];struct node{    int a,b,c;    double d;}t[maxn];bool cmp(node a,node b){    return a.d>b.d;}int main(){    int T;    scanf("%d",&T);    while(T--){        memset(dp,0,sizeof(dp));        int n,time=0;        scanf("%d%d",&n,&time);        for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d%d%d",&t[i].a,&t[i].b,&t[i].c),t[i].d=(t[i].b*1.0)/t[i].c;        sort(t,t+n,cmp);        for(int i=0;i<n;i++){            for(int j=time;j>=0;j--){                if(j>=t[i].c) dp[j]=max(dp[j],dp[j-t[i].c]+t[i].a-j*t[i].b);            }        }        int lmax=-1;        for(int i=0;i<=time;i++){            lmax=max(lmax,dp[i]);        }        printf("%d\n",lmax);    }}

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