codevs售货员的难题 —— 状态压缩动态规划[四星]

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题目描述 Description

某乡有n个村庄，有一个售货员，他要到各个村庄去售货，各村庄之间的路程s是已知的，且A村到B村与B村到A村的路大多不同。为了提高效率，他从商店出发到每个村庄一次，然后返回商店所在的村，假设商店所在的村庄为1，他不知道选择什么样的路线才能使所走的路程最短。请你帮他选择一条最短的路。

输入描述 Input Description

村庄数n和各村之间的路程(均是整数)

输出描述 Output Description

最短的路程

样例输入 Sample Input

3

0 2 1

1 0 2

2 1 0

样例输出 Sample Output

3

第一次打状压DP，以前只是听说不敢打…… 状压的思想核心还是比较易懂的
核心：
把状态压缩为一个二进制序列，用十进制保存，二进制中每一位都代表着不同的意义，比如说10，它的二进制是1010，可以理解为4号位和2号位的目标达成，1号和3号的目标没有达成。

压缩状态的目的是省空间，因为如果每一种状态开一个多维数组的话太占空间，并且转移也不好写，状压后转移写起来很方便，因为是二进制，主要通过位运算来实现它……

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回到题目，看到n <= 15想到状压可以做，状压用在这里就是最外层从1for到2^n，这样就达到了枚举所有状态的目的，（具体实现详见代码），然后核心DP转移方程如下

dp[j][((1 << j-1) | i)] = min(dp[j][((1 << j-1) | i)],dp[k][i] + map[k][j]);

dp[i][j]表示的是从起点到i号点在j状态下的最短路径。
上面式子有一个条件，j没有走过而k走过（看不懂的话，下面有完整代码），那么上面式子的意思就是：从起点到j，状态从原来的i二进制第j-1项为0转移到为1时，取它本身和从k点状态i（即还没有走到j这个村子，因为此时i中对应的j的状态点为0），加上k到j的距离，这里要仔细想想。（位运算的优先级很低，(1 << j-1)优先算减法，然后再算<<,<<的意思是将原来的数字再二进制中左移多少位，1 << j-1位的含义是2^(j-1)，2的j-1次方）。

最后时进行这一步：

for(int i = 2;i <= n;i ++){    ans = min(ans,dp[i][(1<<n)-1] + map[i][1]);}

这一步ans初值是INF，然后dp数组表示的是从起点到i点并且除了起点所有的村庄都走的最小值，然后再加上从i点到起点的距离，再所有情况中取最小值就是答案~

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下面附上完整代码

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<queue>#include<deque>#include<algorithm>#include<cmath>using namespace std;const int size = 124500;int dp[23][size];int map[23][23];int main(){    int n;    scanf("%d",&n);    for(int i = 1;i <= n;i ++)        for(int j = 1;j <= n;j ++)            scanf("%d",&map[i][j]);    memset(dp,63,sizeof(dp));    dp[1][1] = 0;    for(int i = 0;i <= (1 << n);i ++)    {        for(int j = 1;j <= n;j ++)        {            if(((1 << j-1) & i) == 0)            {                for(int k = 1;k <= n;k ++)                {                    if(((1 << k-1) & i))                    {                        dp[j][((1 << j-1) | i)] = min(dp[j][((1 << j-1) | i)],dp[k][i] + map[k][j]);                    }                }            }        }    }    int ans = 2147483640;    for(int i = 2;i <= n;i ++)    {        ans = min(ans,dp[i][(1<<n)-1] + map[i][1]);    }    printf("%d",ans);    return 0;}