选择排序——堆排序

堆排序是一种树形选择排序，是对直接选择排序的有效改进。

一.基本思想

堆的定义如下：具有n个元素的序列（k1,k2,…,kn),当且仅当满足

时称之为堆。由堆的定义可以看出，堆顶元素（即第一个元素）必为最小项或最大项，相应的堆称为小顶堆或大顶堆。
若以一维数组存储一个堆，则堆对应一棵完全二叉树，且所有非叶结点的值均不大于(或不小于)其子女的值，根结点（堆顶元素）的值是最小(或最大)的。如：
（a）大顶堆序列：（96, 83,27,38,11,09)
(b) 小顶堆序列：（12，36，24，85，47，30，53，91）

初始时把要排序的n个数的序列看作是一棵顺序存储的二叉树（一维数组存储二叉树），调整它们的存储序，使之成为一个堆，将堆顶元素输出，得到n 个元素中最小(或最大)的元素，这时堆的根节点的数最小（或者最大）。然后对前面(n-1)个元素重新调整使之成为堆，输出堆顶元素，得到n 个元素中次小(或次大)的元素。依此类推，直到只有两个节点的堆，并对它们作交换，最后得到有n个节点的有序序列。称这个过程为堆排序。
因此，实现堆排序需解决两个问题：
1. 如何将n 个待排序的数建成堆；
2. 输出堆顶元素后，怎样调整剩余n-1 个元素，使其成为一个新堆。
首先讨论第二个问题：输出堆顶元素后，对剩余n-1元素重新建成堆的调整过程。
调整小顶堆的方法：
1）设有m 个元素的堆，输出堆顶元素后，剩下m-1 个元素。将堆底元素送入堆顶（（最后一个元素与堆顶进行交换），堆被破坏，其原因仅是根结点不满足堆的性质。
2）将根结点与左、右子树中较小元素的进行交换。
3）若与左子树交换：如果左子树堆被破坏，即左子树的根结点不满足堆的性质，则重复方法 （2）.
4）若与右子树交换，如果右子树堆被破坏，即右子树的根结点不满足堆的性质。则重复方法 （2）.
5）继续对不满足堆性质的子树进行上述交换操作，直到叶子结点，堆被建成。
称这个自根结点到叶子结点的调整过程为筛选。如图：

再讨论对n 个元素初始建堆的过程。
建堆方法：对初始序列建堆的过程，就是一个反复进行筛选的过程。
1）n 个结点的完全二叉树，则最后一个结点是第个结点的子树。
2）筛选从第个结点为根的子树开始，该子树成为堆。
3）之后向前依次对各结点为根的子树进行筛选，使之成为堆，直到根结点。
如图建堆初始过程：无序序列：（49，38，65，97，76，13，27，49）

二.算法的实现

    /**     * 简单选择排序     * 从小到大排序     * @param array     */    public static void selectSort(int[] array){        for (int i = 0; i < array.length-1; i++) {            int minIndex=i; //最小数的下标            for(int j=i+1; j<array.length; j++){                if(array[j] < array[minIndex]){                    minIndex=j;                }            }            if(minIndex != i){                int temp = array[i];                array[i] = array[minIndex];                array[minIndex] = temp;            }        }    }    /**     * 堆排序     * 从小到大     * @param array     */    public static void heapSort(int[] array){        buildHeap(array);        printArray(array);        int length = array.length;        for(int i=length-1; i>0; i--){            //将最后一个元素和第一个元素交换            int temp = array[0];            array[0] = array[i];            array[i] = temp;            adjustHeap(array, 0, i);        }    }    /**     * 创建大顶堆     * @param array     */    public static void buildHeap(int[] array){        for(int i=(array.length-1)/2-1; i>=0; i--){            adjustHeap(array,i,array.length);        }    }    /**     * 调整至大顶堆     * @param array     * @param s 待调整的位置     * @param length    待调整的数组的长度     */    public static void adjustHeap(int[] array,int s,int length){        int temp = array[s];    //存储待调整的元素        int child = 2*s+1;        while(child < length){            if(child+1<length && array[child] <array[child+1]){                child++;            }            if(array[s] < array[child]){                array[s] = array[child];//大的节点往上移                s = child;//更改待调整的节点                child = 2*child+1;            }else{                break;  //如果待调整的节点比左右孩子节点都大，无需调整            }            array[s] = temp;//将待调整的节点放到比他大的孩子节点上        }    }

三.效率

设树深度为k，。从根到叶的筛选，元素比较次数至多2(k-1)次，交换记录至多k 次。所以，在建好堆后，排序过程中的筛选次数不超过下式：

而建堆时的比较次数不超过4n 次，因此堆排序最坏情况下，时间复杂度也为：O(nlgn )。

四.应用场景

堆排序的效率与序列的初始顺序无关。