最大似然估计（转载）

引言：
如果我们知道样本（数据）所服从的概率分布的模型，而不知道该模型中的参数，例如：高斯模型的参数：均值u，及方差sigma。最大似然估计就是用来估计模型参数的统计学方法.
如何估计：
我们利用样本，概率分布模型来估计，我们从总体中能够获得这些样本，为什么能获得，应该是获得这样的样本组合的概率最大。这样就将参数估计问题转化到最优化问题了。求最值，最简单的方法就是求导数，令导数为零，解方程。
设样本： ，概率分布模型：f，要估计的参数θ，优化目标函数：
　
给定一个概率分布D，假定其概率密度函数（连续分布）或概率聚集函数（离散分布）为fD，以及一个分布参数θ，我们可以从这个分布中抽出一个具有n个值的采样 ，通过利用fD，我们就能计算出其概率：

　　但是，我们可能不知道θ的值，尽管我们知道这些采样数据来自于分布D。那么我们如何才能估计出θ呢？一个自然的想法是从这个分布中抽出一个具有n个值的采样X1,X2,…,Xn，然后用这些采样数据来估计θ.
　　一旦我们获得 ，我们就能从中找到一个关于θ的估计。最大似然估计会寻找关于 θ的最可能的值（即，在所有可能的θ取值中，寻找一个值使这个采样的“可能性”最大化）。这种方法正好同一些其他的估计方法不同，如θ的非偏估计，非偏估计未必会输出一个最可能的值，而是会输出一个既不高估也不低估的θ值。
　　要在数学上实现最大似然估计法，我们首先要定义可能性:

　　并且在θ的所有取值上，使这个[[函数最大化。这个使可能性最大的 值即被称为θ的最大似然估计。
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注意
• 这里的可能性是指 不变时，关于θ的一个函数。
• 最大似然估计函数不一定是惟一的，甚至不一定存在。
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最大似然估计的例子
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离散分布，离散有限参数空间
　　考虑一个抛硬币的例子。假设这个硬币正面跟反面轻重不同。我们把这个硬币抛80次（即，我们获取一个采样 并把正面的次数记下来，正面记为H，反面记为T）。并把抛出一个正面的概率记为p，抛出一个反面的概率记为1 − p（因此，这里的p即相当于上边的θ）。假设我们抛出了49个正面，31 个反面，即49次H，31次T。假设这个硬币是我们从一个装了三个硬币的盒子里头取出的。这三个硬币抛出正面的概率分别为p = 1 / 3, p = 1 / 2, p = 2 / 3. 这些硬币没有标记，所以我们无法知道哪个是哪个。使用最大似然估计，通过这些试验数据（即采样数据），我们可以计算出哪个硬币的可能性最大。这个可能性函数取以下三个值中的一个：

　　我们可以看到当 时，可能性函数取得最大值。这就是p的最大似然估计.
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离散分布，连续参数空间
　　现在假设例子1中的盒子中有无数个硬币，对于 中的任何一个p， 都有一个抛出正面概率为p的硬币对应，我们来求其可能性函数的最大值：

　　其中 . 我们可以使用微分法来求最值。方程两边同时对p取微分，并使其为零。

　　在不同比例参数值下一个二项式过程的可能性曲线 t = 3, n = 10；其最大似然估计值发生在其众数(数学)并在曲线的最大值处。
　　其解为p = 0, p = 1，以及p = 49 / 80. 使可能性最大的解显然是p = 49 / 80（因为p = 0 和p = 1 这两个解会使可能性为零）。因此我们说最大似然估计值为 .
　　这个结果很容易一般化。只需要用一个字母t代替49用以表达伯努利试验中的被观察数据（即样本）的’成功’次数，用另一个字母n代表伯努利试验的次数即可。使用完全同样的方法即可以得到最大似然估计值:

　　对于任何成功次数为t，试验总数为n的伯努利试验。
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连续分布，连续参数空间
　　最常见的连续概率分布是正态分布，其概率密度函数如下：

　　其n个正态随机变量的采样的对应密度函数（假设其独立并服从同一分布）为：

　　或：
,
　　这个分布有两个参数：μ,σ2. 有人可能会担心两个参数与上边的讨论的例子不同，上边的例子都只是在一个参数上对可能性进行最大化。实际上，在两个参数上的求最大值的方法也差不多：只需要分别把可能性 在两个参数上最大化即可。当然这比一个参数麻烦一些，但是一点也不复杂。使用上边例子同样的符号，我们有θ = (μ,σ2).
　　最大化一个似然函数同最大化它的自然对数是等价的。因为自然对数log是一个连续且在似然函数的值域内严格递增的函数。[注意：可能性函数（似然函数）的自然对数跟信息熵以及Fisher信息联系紧密。求对数通常能够一定程度上简化运算，比如在这个例子中可以看到：

　　这个方程的解是 . 这的确是这个函数的最大值，因为它是μ里头惟一的拐点并且二阶导数严格小于零。
　　同理，我们对σ求导，并使其为零。

这个方程的解是 .
因此，其关于θ = (μ,σ2)的最大似然估计为：
.