莫比乌斯反演归纳

莫比乌斯反演

基础公式：F(n) = ∑(d|n)f(d) <=> f(n) = ∑(d|n)u[d]F[n/d]

u[i] = 0表示i有平方因子

u[i] = -1表示i无平方因子且唯一分解后有奇数个质因子

u[i] = 1表示i无平方因子且唯一分解后有偶数个质因子

u是积性函数。莫比乌斯反演在求解很多需要容斥的数论问题上非常方便

下面给出各种题型：

1. n个数中任意取出k个，求k个数最大公约数为1的组数NOJ 2079 (k == 2)，POJ 3904 (k == 4)

这类题的做法是用总的情况容斥不满足的情况，C(n,k) － C(gcd只含奇数个质数的个数,k) ＋ C(gcd只含偶数个质数的个数,k)，前面的符号就是莫比乌斯函数，gcd为i的直接nlogn预处理

2. 求无平方因子数，UESTC 618 这个求的是[1, n]中无平方因子数的个数，直接枚举平方因子用莫比乌斯函数容斥即可(总个数－因子有4的个数－因子有9的个数＋因子有36的个数...)  BZOJ 2440 这题要求的是第k个无平方因子数，考虑到数据范围，还需要二分查找

3. 有一大类问题形如：给出a，b，(可能有c)的范围，然后求gcd(a, b) = k的(a, b)的对数，这里的k为带有某种特征的数，比如1或素数等等，这类题通常会用到分块求和优化，这篇博客就不解释了，有时(a,b)和(b,a)是一种情况，有时不是一种情况，要看清题目，下面对于这一大类问题再继续细分

   1)  SPOJ VLATTICE Visible Lattice Points 立方体，从原点能看到多少点，首先三个数轴上有三点，其次三个平面上算一下(gcd(a, b) = 1, gcd(a, c) = 1 , gcd(d, c) = 1的组数)，最后立方体中的点算一下(gcd (a,b,c) = 1的组数)，因为是立方题a=b=c=n算的时候用莫比乌斯函数容斥，思想类似题型1      

        ZOJ 3435 (1,1,1)和(l, w, h)组成的长方体中从点(1,1,1)能看到的点数，和上面类似,a,b,c都减1就和上面一样了

   2)  HDU 1695 1 <= x <= b，1 <= y <= d，gcd(x, y) = k的(x, y)对数 (x,y)和(y,x)是同一种，把问题转化成求从(1, b/k)和(1, d/k)两区间中选出两个数gcd为1的对数，然后就转化成上面的问题了，这题要注意的是(x,y)和(y,x)属于一种，因此要去重，设mi=min(b/k, d/k)，ma=max(b/k, d/k)，则(1, d/k)是(1, b/k)的子集合，因此重复的个数就是cal(mi, mi) / 2，拿总的个数cal(b/k, d/k)减去即可

        BZOJ 2301 a <= x <= b, c <= y <= d且gcd(x, y) = k的(x,y)对数，处理方法同上，问题转化为(a/k, b/k)和(c/k, d/k)两区间中选出两个数gcd为1的对数，本题的(x,y)和(y,x)属于不同情况，以下分析若为不同情况则不特殊说明(因为大部分都是当不同来的)，然后这里还需要进行一个容斥，再把问题转化成四个区间(1, a/k), (1, b/k), (1, c/k), (1, d/k)，那么答案显然就是cal(b / k，d / k) - cal((a - 1) / k，d / k) - cal((c - 1) / k，b / k) + cal((a - 1) / k，(c - 1) / k)，不理解的画四个数轴就看出来了

未完待续。。。