PCA（主成分分析）与FA（因子分析）的直白理解

　　主成分分析和因子分析是数据挖掘中常用的方法，帮助我们对原始数据有更好的理解，同时也可以实现降维等操作，为后续工作提供便利。
　　但是有一些博客的介绍中，其中数学推导的部分过多，没有很好地跟实际例子结合到一起，通俗易懂地解释这两个东西。我更想更需要直白的解释。

PCA

　　何谓主成分分析，其实大家通常意义说的那个借助于特征值和特征向量的PCA方法，应该叫做“基于方差最大化的特征主成分分析”。
　　真正的主成分分析，应该是所有能够对数据实现主要成分表示的方法的总的称谓。
　　因为，主成分分析的目标是：
　　

Xm∗nBn∗k=Cm∗k
　　其中,Xm∗n表示m行n列的样本矩阵，B表示k维空间的基底矩阵，Cm∗k表示原始数据X经过空间变换B之后，得到的新空间内的数据。其中的B是特征主成分的表示
　　如何表示B有很多种角度，也就意味着有很多种主成分分析方法。
　　先讲“基于方差最大化的特征主成分分析-PCA”，我们暂且还是这么叫它为PCA。
　　PCA一开始就没打算直接对数据怎么样，而是研究维度之间的关系，将维度简化，比如去掉相关性之类的，或者是去掉一些用处不大的维度。
　　假设样本矩阵去中心后，表示为Z。
　　如果从线性相关性入手研究的话，就必须要提到协方差矩阵ZTZ，注意其是n∗n的，表示的是维度之间的协方差关系。啥叫两个随机变量M,N的协方差，就是：
　　Cov(M,N)=E(M−M¯¯¯¯)(N−N¯¯¯)=1m∗∑mi=1(mi−Mi¯¯¯¯¯)(ni−Ni¯¯¯¯)
　　刚好Cov(A,A)=1m∗ZTZ。 m表示样本数量，是常数。
　　协方差在一定程度上描述了维度之间的线性关系，为什么呢？
　　因为线性相关系数ρXY=Cov(X,Y)D(X)√D(Y)√，协方差是分子部分，可以描述方差意义下的相关性。
　　这个协方差矩阵是否可以缩减一下，（有些维度是线性相关性很强的，并且我们如果把主要信息所在的维度）如果可以把相关性这层关系表示成另外一种简化形式，岂不是更好。
　　这个时候就需要特征值和特征向量的登场了。
　　对某个矩阵A来说，如果存在不是零向量的β使得Aβ=λβ，则称β为矩阵A的特征向量，λ为矩阵A的特征值。
　　从空间变换上来看，β这个向量有个很好的特点，就是矩阵A经过β的变换之后，还在β这个方向上，只不过是数值大小（包括正负）会出现变化。
　　怎么解释特征值呢，就是数据在特征向量方向上的方差。方差越大，信息量越大。（可否理解为方差越大，不确定性越大，信息量越大。方差小的表示本维度的值波动范围小，对样本标签的预测也就无法很好地预测，方差大的才能更好地。）
　　那么，这样就好了，我们对维度之间的关系矩阵，进行特征值分解，ZTZ=QΛQT就找到了特征向量，Q是由特征向量正交单位化之后组成的。
　　于是将维度之间的关系矩阵，表示在了特征向量为基底的空间内，得到ZTZ[β1,β2,...βn]=[λ1β1,λ2β2,....λnβn]，其中的λ表示的是在各个基底方向上的大小（一个数据在三维中的表示为（1000,999,1），当然可以认为x,y维度上更重要）。
　　（1）ZTZ刚好是实对称矩阵，所以可以谱分解为上述形式。
　　（2）Q也可以不单位正交化。
　　根据原始维度之间的协方差关系，可以找到新的维度空间（特征向量为基底表示的空间），且能够变换过去，且不同特征值之间的特征向量线性不相关（所以有人也说是去相关）。
　　选择λ较大的前几个，作为新的特征基底，比如[λ1,λ2,λ3]（到这里，主成分分析算是完毕了，主要成分都已经找到了），对原始数据进行空间变换X[λ1,λ2,λ3]=[Xλ1,Xλ2,Xλ3]，将其表示在新的基底下，就是保留了较大方差的新数据（实现了降维）（因为方差小的维度对分类判断没有太大作用，去掉了认为数据损失不大，这个限度就看你取前几个最大的占所有的比例）。
　　我们看到，主成分是指的维度的主成分，此处用的是方差最大的一种主成分分析，当然还可以用其他标准来分析其主成分，所以主成分分析是个很大的概念。

Factor Analysis

　　因子分析，实际上应该叫做公共因子分析，为什么呢？看其定义：
　　

X=AF+ε
　　X表示原始数据，F表示公共因子，ε是特殊因子
　　因子分析的原理是假设原始的数据是由公共因子（公共维度）与误差因子（非公共维度）构成的，如上式所写。（但因子分析更关心公共因子，对特殊因子不甚关心）
　　那么，问题来了，如何找到公共因子呢？
　　我从一个易于理解的角度，为大家解析基于特征向量的公共因子分析，而不是从很恐怖的统计角度。我仅仅是去凑出公共因子分析的定义形式，然后去比对着定义找公共因子。其中很多地方是与任浩同学的讨论明白的。
　　我们先尝试对上式变形运算：
　　XTX=(AF+ε)T(AF+ε)
　　先看右侧，我们将非公共部分去掉，得到：
　　XTX≈(AF)T(AF)
　　注意此处的约等于不是抽取公共因子（用少量公共因子）之后造成的约等，而是因为去掉了特殊因子造成的约等。
　　XTX=VΛVT实对称矩阵的特征值分解,此处不做单位化处理。
　　XTX=[β1,β2,...,βn]⎡⎣⎢⎢⎢λ1λ2...λn⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢β1β2...βn⎤⎦⎥⎥⎥⎥
　　XTX=[λ1−−√β1,λ2−−√β2,...,λn−−√βn]⎡⎣⎢⎢⎢⎢λ1−−√β1λ2−−√β2...λn−−√βn⎤⎦⎥⎥⎥⎥
　　对比上式：XTX≈(AF)T(AF)看着形式是一样的，并且符合了定义的公共因子的样子。
　　如果从[λ1−−√β1,λ2−−√β2,...,λn−−√βn]抽取几个β作为公共因子，岂不是个很好的想法。于是，就有了公共因子。
　　此处的左侧XTX，怎么看着这么眼熟，是不是跟前面提到的协方差矩阵很像。哈哈，是的，很像。但是请注意：这里可以不用去中心化，因为没有严格的去研究维度之间的相关性，而是单纯的做了转置再乘以自身（当然也可以去中心化），这种变形运算是为了凑出右侧乘的形式，以便于跟定义的公共因子的样子相近。
　　至此，公共因子的抽取也就结束了，至于公共因子旋转之类的操作，是为了使得公共因子更具有可解释性，暂时还不做解释了。
　　还有如何利用公共因子去分析原始维度的重要性，这里也不做赘述了，大家自己上网搜索了解吧。
　　公共因子的形式可以有很多种，都能凑出定义的形式来，那么也就有很多因子分析方法了。

小结

　　PCA和FA是很常用的因素分析方法，他们之间既有联系又各不相同。
　　主成分分析，是分析维度属性的主要成分表示。
　　因子分析，是分析属性们的公共部分的表示。