DeepLearning 1 - 线性回归

参考自：http://openclassroom.stanford.edu/MainFolder/DocumentPage.php?course=DeepLearning&doc=exercises/ex2/ex2.html

数据

数据地址：ex2Data.zip。

该文件包含了2到8岁之间的男孩的身高测量。 y值是高度（单位：m），x值是与其相对应得年龄。

每个身高和年龄组成了一个数据集，(xi,yi)，共有m=50个样本数据，并用它们建立逻辑回归模型。

有监督学习问题

在这个问题中，使用梯度下降求解线性回归。在Matlab中，则可以使用以下命令加载的训练集

x = load('ex2x.dat');

y = load('ex2y.dat');

上述训练集为监督学习模型的数据集，维度为n=1，(x0 = 1)。

在Matlab中，运行以下命令绘制训练集（并标记轴）：

figure % open a new figure window

plot(x, y, 'o');

ylabel('Height in meters')

xlabel('Age in years')

结果如下：

开始梯度下降之前，我们需要将x0 = 1截距项添加到每个实例。在matlab中，命令如下：

m = length(y); % store the number of training examples

x = [ones(m, 1), x]; % Add a column of ones to x

从这个角度上，训练数据中的年龄值实际上是x的第二列。

线性回归

线性回归模型为：

根据梯度下降法，更新原则为：

1.     在用梯度下降法求解时，学习率取α=0.07。第一次迭代的初始参数，θ=0，即θ0=0，θ1=0。

2.     继续迭代，直到θ不再变化，大约迭代1500次，记录最终的θ值。

当求得θ时，在数据图像中绘制直线，命令如下：

hold on % Plot new data without clearing old plot

plot(x(:,2), x*theta, '-') % remember that x is now a matrix with 2 columns

                           % and the second column contains the time info

legend('Training data', 'Linear regression')

一般的，由于x的维度很高，hθ(x)很难绘制，但是本样例中，仅有1维，是可以绘制出的。

3.     最后，可以进行一些预测。例如预测3.5岁和7岁小孩的身高。

调试：如果您使用的是基于Matlab运行时，看到许多错误，请检查您的矩阵运算乘法的方式，矩阵尺寸可能不相符。

理解J(θ)

为了更好的理解J(θ)，可以将其可视化。本模型中，J(θ)为一3D图。然而，其他问题中，x为多维，很难将其可视化。J(θ)如下：

Matlab 的代码如下：

J_vals = zeros(100, 100);   % initialize Jvals to 100x100 matrix of 0's

theta0_vals = linspace(-3, 3, 100);

theta1_vals = linspace(-1, 1, 100);

for i = 1:length(theta0_vals)

           for j = 1:length(theta1_vals)

           t = [theta0_vals(i); theta1_vals(j)];

           J_vals(i,j) = %% YOUR CODE HERE %%

    end

end

% Plot the surface plot

% Because of the way meshgrids work in the surf command, we need to 

% transpose J_vals before calling surf, or else the axes will be flipped

J_vals = J_vals'

figure;

surf(theta0_vals, theta1_vals, J_vals)

xlabel('\theta_0'); ylabel('\theta_1')

得到的图形如下图：

 

解决方案：

代码如下：ex2.m。

1.       第一次运行结果：

2.       运行梯度下降直至收敛后，确认您的参数是约等于确切的封闭形式的解决方案：

如果你在MATLAB 1500次迭代且以0.07学习速率运行梯度下降，你应该看到这些确切的数字为上述结果。如果使用较少的迭代，你的结果应不超过0.01不同，或者你可能没有足够的迭代。例如，在MATLAB为500次迭代运行梯度下降给出THETA = [ 0.7318 ， 0.0672 ] 。这是接近收敛，但THETA仍然可以得到接近精确值，如果你运行的梯度下降更多一些。

如果你的答案大大不同，从上面的解决方案，有可能在你实现中的错误。检查你使用的0.07正确的学习率。然后，请检查您的X和Y向量确实是你所期望的那样。请记住，X需要的那些额外的1列。

3.       3.5岁的预言高度0.9737米，以及7岁是1.1975米。

绘制与梯度下降的最合适的训练数据的曲线应类似于下图。

通过梯度下降。在一般情况下，成本函数的线性回归问题将碗形的，全局最小。

根据你的表面积的观察窗上，它可能不那么明显的看出代价函数J(θ)为碗形。要更好的看出其是全局最有的，，这可能有助于绘制等高线图。在Matlab中，

figure;

% Plot the cost function with 15 contours spaced logarithmically

% between 0.01 and 100

contour(theta0_vals, theta1_vals, J_vals, logspace(-2, 2, 15))

xlabel('\theta_0'); ylabel('\theta_1')

结果如下：

现在最小的位置更明显。